الاعداد العقدية (5)
تمرين
نعتبر النقط A(1+3i) ; B(i) ; C(-1-i)
بين ان النقط A ; B ; C مستقيمية بطريقتين.
تصحيح
1) طريقة 1:
aff(AC→)=-1-i-(1+3i)=-2-4i⇒AC→(-2;-4)
aff(AB→)=i-(1+3i)=-1-2i⇒AB→(-1;-2)
⇒AC→=2AB→
اذن النقط A; B ; C مستقيمية
2) طريقة 2:
| c-a | = | -2-4i | =2∈IR |
| b-a | -1-2i |
اذن النقط A; B ; C مستقيمية
10.5 النقط المتداورة
10.5.1 تعريف
نقول ان نقول ان النقط A; B; C; D متداورة اذا كانت تنتمي الى نفس الدائرة ونقول ايضا ان الرباعي ABCD دائري
10.5.2 خاصية
الرباعي ABCD دائري اذا وفقط اذا كان
| Zb-Za | × | Zd-Zc | ∈IR |
| Zd-Za | Zb-Zc | ||
| Zc-Zb | × | Za-Zd | ∈IR او |
| Za-Zb | Zc-Zd |
تمرين
بين ان النقط A(1-i√3) ; B(-1-i√3) ;C(2i) ; D(2)
متداورة
تصحيح
1) طريقة 1: اذا كان من السهل تحديد مركز الدائرة نمر مباشرة كمثل هذا السؤال
نلاحظ ان |Za|=|Zb|=|Zc|=|Zd|=2 وهذا يعني ان OA=OB=OC=OD=2 اذن النقط A; B; C; D
متداورة اي تنتمي الى نفس الدائرة التي مركزها O وشعاعها 2
2) طريقة 2: نطبق الخاصية السابقة
| H= | Zb-Za | × | Zd-Zc |
| Zd-Za | Zb-Zc | ||
| = | -1-i√3-1+i√3 | × | 2-2i |
| 2-1+i√3 | -1-i√3 -2i | ||
| = | -2 | × | -2(1-i) |
| 1+i√3 | +1+i(2+√3) | ||
| = | 1-i√3 | × | -1-√3-i(3+√3) |
| 1 | 1+(2+√3)² |
بعد القيام بنشر البسط والاختزال نحصل على
H=-4-4√3∈IR
وبالتالي النقط A; B; C; D
متداورة
11- الجذور النونية لعدد عقدي والجذور النونية للوحدة
11.1 الجذور النونية لعدد عقدي
11.1.1 تعريف
ليكن Z∈ℂ وعددا صحيحا n>1, نقول جذرا نونيا (او من الرتبة n) لعدد عقدي Z عدد عقدي z بحيث Z=zn
11.1.2 الجذور المربعة لعدد عقدي
ليكن Z=x+iy و z=a+ib حيث Z²=z و x;y;a;b∈IR
1) الحالة الاولي : اذا كانت عمدة z معلومة فان
[|Z|²;2argZ]≡[|z|;argz]
|Z|=√(|z|) ; argZ≡(0,5)argz[2π]
مثال:
ليكن Z²=i نضع Z=|Z|eiθ ولدينا i=eiπ/2
اذن
Z²=i⇔|Z|=1 &
2θ=π/2 +2kπ, k=0 v k=1
( اذا تابعنا ووضعنا k=2 نلتقي بالحالة k=0)
z²=i⇔ Z=eiπ/4
او Z=ei5π/4
اذن i يقبل جذرين مربعين
| Z1= | √2 | +i | √2 | ; Z2= - | √2 | -i | √2 |
| 2 | 2 | 2 | 2 |
2) الحالة الثانية عمدة z غير معلومة
في هذه الحالة يمكن ان نمر بالكتابة الجبرية
Z²=z⇔x²-y²+2xy=a+ib
⇔x²-y²=a ; 2xy=b
لحل هذه النظمة يمكن نعطف للعبارة السابقة عبارة صحيحة |Z²|=|z| ⇔ x²+y²=√(a²+b²)
اذن نحل النظمة التالية
| { | x²-y²=a |
| 2xy=b | |
| x²+y²=√(a²+b²) |
وبتقنية الجمع والطرح نحصل على
| { | 2x²=a+√(a²+b²) |
| 2y²=√(a²+b²)-a | |
| 2xy=b |
بالنسبة للمعادلة
2xy=b تمكن من تحديد اشارة x و y
اذا كانت b>0 فان
| { | x= | √2(a+√(a²+b²)) |
| 2 | ||
| y= | √2(√(a²+b²)-a) | |
| 2 |
او
| { | x= | -√2(a+√(a²+b²)) |
| 2 | ||
| y= | -√2(√(a²+b²)-a) | |
| 2 |
اذا كانت b< 0 فان
| { | x= | √2(a+√(a²+b²)) |
| 2 | ||
| y= | - √2(√(a²+b²)-a) | |
| 2 |
او
| { | x= | -√2(a+√(a²+b²)) |
| 2 | ||
| y= | √2(√(a²+b²)-a) | |
| 2 |
خاصية
كل عدد عقد غير منعدم يقبل جذرين مربعين متقابلين
مثال
حدد الجذرين المربعين للعدد z=3-4i<
نضع ً Z=x+iy حيث
Z²=z
حل النظمة التالية
| { | x²-y²=3 |
| 2xy=-4 < 0 | |
| x²+y²=√(3²+(-4)²)=5 |