2- Forme trigonométrique

2.1 Propriété et définition

2.1.1 Propriété 1

Soit z∈ℂ* tel que |z|=1
(∃x∈ℝ): z=cosx + isinx.

Résultat
(∀z∈ℂ*)(∃x∈ℝ): z=| z |(cosx + isinx).

2.1.2 Définition

Soit z∈ℂ*
L'écriture z=|z|(cosx+isinx) tel que x est un argument de z est appelée forme trigonométrique de z.
On écrit aussi z=[ | z | ; x].

Exemple 1
Déterminer une forme trigonométrique de z=1+i.

Correction
On a | z |= √2
on détermine d'abord un argument de z, noté x

donc la forme trigonométrique de z

On peut écrire z sous la forme suivante

Exemple 2
Soit z=1-√3i donc | z | = 2
on détermine un argument de z noté x

Donc la forme trigonométrique de z

On peut écrire

2.1.3 Propriétés

Soient z=[r;x] ; z'=[r';x'] et n∈IN.
(-z)=[r ; π + x] et z=[r ; -x].
z.z'=[rr' ; x+x'] et zⁿ=[rⁿ ; nx]