Nombres complexes (10)
Rappel
1) Tout nombre complexe non nul admet deux racines carrés opposées
1) Premier cas L'argument d'un complexe z connu
Z² = z ⇔ (|Z|² = |z| et 2argZ = argz + 2kπ) tel que k=0 ou k=1
2) Deuxième cas L'argument d'un complexe z n'est pas connu
Z=x+iy tel que Z²=z=a+ib et x;y;a;b∈IR
Z² = z ⇔ x²-y²+2xy = a+bi
Exercice 1 tp
Déterminer les racines carrées du nombre complexe z=3-4i
Correction
On pose Z=x+iy tel que Z²=z et x;y∈IR
Z² = z ⇔ x²-y²+2xy = 3-4i
de plus |Z|²=|z|⇔x²+y²=√(3² + (-4)²)=5
On résout le système suivant
| { | x²-y² = 3 |
| 2xy=-4 < 0 | |
| x²+y² = 5 |
xy < 0 donc x et y sont de signes différents
| { | x = | √2(3+√25) |
| 2 | ||
| y = | - √2(√(25)-3) | |
| 2 |
| ou { | x = | - √2(3+√25) |
| 2 | ||
| y = | √2(√(25)-3) | |
| 2 |
Ainsi
Z1 = 4√2 - i√2
et Z2 = -4√2 + i√2
Exercice 2 tp
Déterminer les racines carrées du nombre complexe z= 1 + i avec deux méthodes différentes puis calculer
| cos | π | sin | π | |
| 8 | 8 |
Correction
1) On posee Z=x+iy tels que Z²=z et x;y∈IR
Z² = z ⇔ x²-y²+2xyi = 1 + i
⇔x²-y² = 1 et 2xy=1
de plus |Z|²=|z|⇔x²+y²=√(1²+1²)=√2
On résout le système suivant
| { | x²-y² = 1 |
| 2xy = 1 > 0 | |
| x²+y² = √2 |
xy > 0 donc x et y sont de même signe
| On a { | x = | √(1+√2) |
| 2 | ||
| y = | √(√2 - 1) | |
| 2 |
| ou | { | x = - | √(1+√2) |
| 2 | |||
| y = - | √(√2 - 1) | ||
| 2 |
Ainsi
| { | Z1 = | √(1 +√2) | +i | √(√2 - 1) |
| 2 | 2 | |||
| Z2 = | - √(1 +√2) | - i | √(√2 - 1) | |
| 2 | 2 |
2) On a |z|=√2 donc ∃θ∈IR tel que
z =(√2)(cosθ + isinθ)
On a donc
| cosθ = | √2 | sinθ = | √2 | |
| 2 | 2 |
| Ainsi θ ≡ | π | [2π] |
| 4 |
| Et donc z = [√2 ; | π | ] |
| 4 |
Z² = z ⇔ (|Z|² = |z| et 2argZ = argz + 2kπ) tel que k=0 ou k=1
Pour k=0
| Z1 = [√2 ; | π | ] |
| 8 |
Pour k=1
| Z2 = [√2 ; | 9π | ] |
| 8 |
| On a | π | ∈[0 ; | π | ] |
| 8 | 2 |
Donc
| cos | π | ≥ 0 | sin | π | ≥ 0 | |
| 8 | 8 |
On déduit donc
| cos | π | = cos(argZ1) |
| 8 |
| sin | π | = sin(argZ1) |
| 8 |
Enfin
| cos | π | = | √(1+√2) | = | √(√2 + 2) |
| 8 | 2√2 | 4 |
| sin | π | = | √(√2 - 1) | = | √(2-√2) |
| 8 | 2√2 | 4 |