Nombres complexes (11)
Rappel
Soient (E): az²+bz+c=0 une équation définie sur ℂ et a;b;c∈ℂ tel que a≠0
Δ = b²-4ac le disciminant de (E) . On pose Δ = (δ)²
1) Si Δ = 0 l'équation (E) admet une solution complexe double
| S = { | - b | } |
| 2a |
2) Si Δ≠0 alors l'équation (E) admet deux solutions complexes
| S = { | -b - δ | ; | -b + δ | } |
| 2a | 2a |
Notons que
si Δ≠0 la factorisation du trinome T(z)
T(z) = a(z - z1)(z - z2) tels que z1 et z2 sont les racines du trinôme T(z)
Exercice 1 tp
Résoudre dans ℂ l'équation
z² = 1-i
Correction
On pose z=x+iy
b = -1 < 0 donc x et y ont des signes opposés
| { | x²-y²=1 |
| 2xy = -1 < 0 | |
| x²+y²=√(1²+(-1)²)=√(2) |
| ou | { | x= | √(2)(1+√2) |
| 2 | |||
| y= | - √(2)(√(2)-1) | ||
| 2 | |||
| { | x= | -√(2)(1+√(2)) | |
| 2 | |||
| y= | √(2)(√(2)-1) | ||
| 2 |
| Donc { | z1= | 2+√2 | + i | -2 + √2 |
| 2 | 2 | |||
| z2= | -2 - √2 | + i | 2 - √2 | |
| 2 | 2 |
Ainsi
| S = | { | 2 + √2 | + i | -2 + √2 |
| 2 | 2 | |||
| ; | -2 - √2 | + i | 2 - √2 | } |
| 2 | 2 |
Exercice 2 tp
Résoudre dans ℂ l'équation
z² - z + 1+i = 0
Correction
| a = 1 | b = -1 | c = 1+i |
Δ = b²-4ac
Δ =(-1)²-4.1.(1+i) = -3 - 4i
La détermination de δ=x+iy, une racine carrée de Δ = δ² est due à la résolution du système suivant
| { | x²-y²=-3 |
| 2xy= -4 < 0 | |
| x²+y²=√((-3)²+(-4)²)=√(25) = 5 |
xy < 0 donc x et y ont des signes opposés
2x² = (-3)+5 et 2y² = 5 - (-3)
ou encore (x=1 et y=-2) ou (x=-1 et y=2)
Il suffit de poser δ=1-2i
Donc
| z1 = | -b - δ | = | 1 - (1-2i) |
| 2a | 2 | ||
| z2 = | -b + δ | = | 1 + 1-2i |
| 2a | 2 |
Ou encore
z1 = i et z2 = 1 - i
Ainsi
S = { i ; 1-i}.