Nombres complexes (12)
Rappel Somme et produit des racines
Soit T(z) az²+bz+c=0, a≠0 un trinôme et z1 et z2
ses racines dans ℂ
| z1 + z2= | - b | et z1 x z2 = | c |
| a | a |
Exercice 1 tp
On considère le trinôme
T(z) = iz²+(1-i)z +4 et z1 et z2 ses racines
Déterminer z1 + z2 et z1.z2
Correction
| z1 + z2= | - (1-i) | = 1 + i |
| i | ||
| z1 x z2 = | 4 | = -4i |
| i |
Exercice 2 tp
On considère l'équation (E) dans ℂ
Z²-(2-i)Z+3-i = 0
1) Déterminer Δ le discriminant de (E)
2) Résoudre dans ℂ l'équation (E)
Correction
1) Δ = b²-4ac
| a = 1 | b = -(2-i) | c = 3-i |
Δ=(2-i)²-4(3-i)=4-4i+i²-12+4i
donc Δ = -9
2) Δ= -9=(3i)² on pose donc δ=3i (ou -3i)
| ou | z1 = | -b - δ | = | 2-i - 3i |
| 2a | 2 | |||
| z2 = | -b + δ | = | 2-i+3i | |
| 2a | 2 |
Ou encore
z1 = 1 - 2i et
z2 = 1 + i
Ainsi
S = { 1 - 2i ; 1 + i }
Exercice 3 tp
1) Déterminer une racine carrée de z=-2i
2) On considère l'équation (E) dans ℂ
Z²-(3+3i)Z+5i =0
(a) Déterminer Δ le discriminant de (E)
(b) Résoudre dans ℂ l'équation (E)
Correction
1) On pose X=x+iy tel que X²=z
x²-y²+2xyi=-2i
Ou encore
x²-y²=0 et 2xy=-2 < 0
et on a de plus |X|=|z|=√(0²+(-2)²)=2
| { | x²-y²=0 |
| 2xy= -2 < 0 | |
| x²+y² = 2 |
Donc 2x² = 0 + 2 = 2
et 2y² = 2 - 0 = 2
On a (x.y < 0) donc x et y ont des signes différents
Ainsi (x = 1 et y = -1)
ou (x = -1 et y = 1)
Et donc δ = 1 - i ou δ = -1 + i
2) Δ = b²-4ac
| a = 1 | b = -(3+3i) | c = 5i |
Δ = (3+3i)²-4.1.(5i)
= 9+18i-9-20i = -2i
D'après la question (1)
-2i = (1-i)²
Donc
| ou | z1 = | -b - δ | = | 3+3i - 1+i |
| 2a | 2 | |||
| z2 = | -b + δ | = | 3+3i+1-i | |
| 2a | 2 |
Ainsi S = { 1+2i ; 2 + i}
Exercice 3 tp
Résoudre dans ℂ l'équation
(E) z²-(1+3i)z -2 + 2i = 0 sans calculer le discriminant
Correction
Soient z1 et z2 les solutions de l'équation (E) donc
z1 + z2 = 1+3i
z1 x z2 = -2+2i
ou encore
z1 + z2 = 2i + (1+i)
z1 x z2 = 2i(1+i)
On déduit donc S = {2i ; 1+i}