Rappel
1) Tout nombre complexe z de module 1 et d'argument x s'écrit sous la forme z=e^ix
En d'autre terme z= cosx+isinx = e^ix
2) (∀z∈ℂ*)(∃x∈IR): z=|z|e^ix
3) Soient z=re^ix et z'=r'e^ix' deux nombre complexes
z.z'= rr'e^{i(x + x')}

Exercice 1 tp

On considère l'équation (E) dans ℂ
Z²-(1+√3)iZ-1-√3+(1-√3)i = 0
1) Montrer que
2√3 + 4(1-√3)i = (2+(1-√3)i)²
2) Déterminer Δ le discriminant de (E)
3) Résoudre dans ℂ l'équation (E)
4) Ecrire les solutions z₁ ; z₂ et z₁z₂ sous la forme exponentielle

Correction

1) (2-(1-√3)i)² = 2²-2.2(1-√3)i+(1-√3)²i²
= 4-4(1-√3)i-(1 - 2√3 + 3)

= 4 - 4(1-√3)i - 4 + 2√3
donc 2√3 - 4(1-√3)i = (2-(1-√3)i)²
2) (E): Z²-(1+√3)iZ-1-√3+(1-√3)i = 0
Δ = b²-4ac

Δ = (1+√3)²i²-4.1.(-1-√3+(1-√3)i)
= -(1 + 2√3 + 3) + 4 + 4√3 - 4(1-√3)i
= 2√3 - 4(1-√3)i
3) D'après la question (1)
2√3 - 4(1-√3)i = (2-(1-√3)i)²

Donc

Ou encore z₁ = -1 + i et z₂ = 1 + i√3
Ainsi S = {-1 + i ; 1 + i√3}
4) (∃x∈IR): z₁ = |z₁|(cosx + isinx)

Donc il suffit de prendre

Ainsi

Et donc z₁ = √(2) e^3π/4

On a | z₂ | = 2
donc (∃v∈IR): z₂ = 2(cosv + isinv)

On a

Donc il suffit de prendre

Ainsi

Et donc z₂ = 2e^π/3
Ainsi z₁z₂ = 2√(2)e^{3π/4 + π/3}
Alors z₁z₂ = 2√(2)e^13π/12