Nombres complexes (14)
Exercice 1 tp
On considère dans ℂ l'équation
(E): iz² - (1-i)(√2)z - 1 = 0
1) Montrer que l'équation (E) admet une solution double z1 dans ℂ
2) Ecrire z1 ; z1-1 sous la forme exponentielle
Correction
1) (E): iz² - (1-i)(√2)z - 1 = 0 Δ = b²-4ac
| a = i | b = -(1-i)√2 | c = -1 |
Δ = ((1-i)√2)²-4.i.(-1)
= 2(1-2i+i²) + 4i = -4i + 4i
Δ = 0 donc l'équation (E) admet une solution double
| z1 = | -b | = | (1-i)√2 |
| 2a | 2i | ||
| = | (1+i)√2 | = | (√2) + i√2 |
| 2 | 2 |
Ainsi
| S = { | √2 | + i | √2 | } |
| 2 | 2 |
2) On a
| |z1| = √(( | √2 | )² + ( | √(2) | )²) |
| 2 | 2 | |||
| = √( | 2 | + | 2 | ) |
| 4 | 4 |
= √(1) = 1
Donc ∃x∈IR tel que z1=cosx + isinx
| z1 = | √(2) | + i | √(2) |
| 2 | 2 |
On a
| { | cosx = | √(2) | = cos | π |
| 2 | 4 | |||
| sinx = | √(2) | = sin | π | |
| 2 | 4 |
| Donc x ≡ | π | [2π] |
| 4 |
Ainsi
| z1 = cos | π | + isin | π |
| 4 | 4 |
Et donc z1 = e π/4
Puisque |(z1)-1| = |z1|-1 = 1
et arg(z1)-1 ≡ -argz [2π]
alors (z1)-1 = e-π/4
Exercice 2 tp
Ecrire le nombre complexe z suivant
| Z = | 2-2i |
| -1+i√3 |
sous la forme exponentielle
Correction
On pose a = 2-2i et b = -1+i√3
1) |a| = √(2²+(-2)²) = 2√2
(∃x1): a=(2√2)(cosx1 + isinx1)
| cosx1 = | 2 | = | √2 |
| 2√2 | 2 | ||
| sinx1 = | -2 | = | - √2 |
| 2√2 | 2 |
| Donc arga ≡ | - π | [2π] |
| 4 |
2) |b| = √((-1)²+(√3)²) = 2
(∃x2): b=2(cosx2 + isinx2)
| cosx2 = | - 1 | et sinx2 = | √3 |
| 2 | 2 |
| Donc argb ≡ | 2π | [2π] |
| 3 |
| Et donc argb-1 ≡ | -2π | [2π] |
| 3 |
Ainsi Z = √(2)ei(-π/4 - 2π/3)
alors Z = √(2)e-i(11π/12)