Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par
f(x)=x-2√(x).
1) (a) Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur IR⁺.
(b) Calculer f'(x) sur IR^+* et étudier son signe.
(c) Tracer le table'au de variations de f.
(d) Calculer f(4).
2) Soit g la restriction de f sur l'intervalle
I=[1;+∞[.

(a) Montrer que g admet une fonction réciproque définie sur J qui doit être déterminé.
(b) Montrer que la fonction g^-1 est dérivable au point et déterminer (g^-1)'(0).
(c) Déterminer g^-1 sur J.

Correction

f(x)∈IR si x≥0 donc D=IR⁺.
1) (a) La fonction √ est continue sur IR⁺ donc f est continue sur IR⁺.
La fonction √ est dérivable sur IR^+*.

Donc f est dérivable sur IR^+*.
On étudie la derivabilité de f à droite à 0

lim 0+	f(x)-f(0)	=	lim 0+	x-2√(x)
	x-0			x

=	lim 0+	1-	2√(x)	=	lim 0+	1-	2
			x				√x

donc	lim 0+	f(x)-f(0)	= -∞
		x-0

et cela signifie que f n'est pas dérivable au point 0 ainsi f est dérivable sur IR^+*.

(b) Soit x∈IR^+*

f'(x) = 1 -2.	1	=	√(x) - 1
	2√(x)		√(x)

Donc	f '(x) =	√(x) - 1
		√(x)

f'(x) est de signe de √x -1.
f'(x)=0 ⇔ √x -1=0 ⇔ x=1
f'(x)>0 ⇔ x>1 et f'(x)<0 ⇔ x≤1
et cela signifie que f est strictement croissante sur [1;+∞[

Et strictement décroissante sur [0;1].
(c) Tableau de variations

lim +∞

f(x) =

lim +∞

√(x)(√(x) - 2)

=

lim +∞

√(x)

lim +∞

(√(x) - 2) = +∞

x		0		1		+∞
f'(x)		||	-	0	+
f		0	↘	-1	↗	+∞

(d) f(4) = 4-2√4 = 0.
2) (a) f est continue sur IR⁺
et en particulier sur I=[1;+∞[ donc sa restriction g est continue sur I
et on a f est strictement croissante sur I donc g est strictement croissante sur I
donc g admet une fonction réciproque définie de J=f(I) vers I.

J=f(I)=f([1;+∞[)=[f(1);

lim +∞

f(x)[

Donc J=[-1;+∞[.
(b) On a f(4)=0 et 0∈J donc g^-1(0)=4.
Puisque g est dérivable au point 4 et g'(4)=(√4 -1)(√4)^-1=1.0,5=0,5≠0
alors g^-1 est dérivable au point 0.

(g-1)'(0) =	1	=	1	=2
	g'(4)		0,5

On déterminer g^-1
(g^-1(x)=y avec x≥-1) ⇔ (g(y)=x avec y≥1)
⇔y-2(√y) - x=0.

On considère l'équation
(E): y-2(√y) -x=0.
On pose √y=t donc y=t²
l'équation (E) devient t²-2t-x=0.
t²-2t-x=0⇔t²-2t+1-1-x=0
⇔(t-1)²=1+x (1+x≥0)
⇔ t= 1+√(1+x) ou t=1-√(1+x).
Puisque t=√(y)≥1 alors t=1+√(1+x)
ainsi g^-1(x)=1+√(1+x) avec x∈[-1;+∞[.