Exercice 1 tp

1) Résoudre l'équation différentièlle suivante
(E): y" - 2y' + 2y = 0
2) Déterminer la solution f de (E) qui vérifie les deux conditions, f(0)=4 et f '(0)=1

Correction

1) Equation caractéristique de (E)
r² - 2r + 2 = 0
Δ = b²-4ac = 2²-4.2 = -4
Δ = -4 < 0 donc cette équation admet deux solutions imaginaires conjuguées

r1 =	-b - i√(|Δ|)		r2 =	-b + i√(|Δ|)
	2a			2a
=	2 - i√(4)		=	7 + i√(4)
	2			2
=	2 - 2i		=	2 + 2i
	2			2
=	1 - i		=	1 + i

Donc r₁ = 1 - i et r₂ = 1 + i
On peut choisir la solution r₁=1-i donc p=1 et q=-1
Ainsi l'ensemble de solutions de l'équation (E) est l'ensemble des fonctions y définies par
y(x) = (kcos(-x) + k'sin(-x))e^x tels que k; k'∈IR 2) La solution f de (E) qui vérifie les deux conditions, f(0)=4 et f '(0)=1
On a f(x) = (kcos(-x) + k'sin(-x))e^x
Donc f(0) = 4 ⇔ ke⁰ = 4 ⇔ k=4

On a donc f(x) = (4cos(-x) + k'sin(-x))e^x
f est dérivable sur IR . Soit x∈IR
f '(x) = (4sin(-x) - k'cos(-x))e^x
+ (4cos(-x) + k'sin(-x))e^x
f '(0) = 1 ⇔ -k'e⁰ + 4e⁰ = 1
⇔ -k' + 4 = 1 ⇔ k' = 3
Ainsi f(x) = (4cos(-x) + 3sin(-x))e^x
ou encore f(x) = (4cosx - 3sinx)e^x

Exercice 2 tp

Résoudre les équations différentièlles suivantes
1) 2y' + 5y - 10 = 0
2) y' - 2 = y
3) 5(y' + 2y) = 10
4) y' + y + 1 = 0

Exercice 3 tp

Résoudre les équations différentièlles suivantes
1) y" = 0
2) y" = 2y
3) y" + 9y = 0
4) 2y"+y=0

Exercice 4 tp

Résoudre les équations différentièlles suivantes
1) y" + 2y' + y = 0
2) y" - 3y' + 2y = 0
3) y" + 2y' + 3y = 0