Mathématiques du secondaire qualifiant

Fonctions Exponentielles (3)

Exercice 1 tp

1) Résoudre dans IR l'équation
(E1): x² - 3x + 2 = 0
2) Résoudre dans IR l'équation
(E2): ex + 2e-x - 3=0
3) Résoudre dans IR, l'inéquation
(I): ex + 2e-x - 3 ≥ 0

Correction

1) L'équation (E1) est définie sur IR . Soit x∈IR
Δ = b²-4ac = (-3)²-4.1.2 = 1
Δ > 0 donc l'équation (E1) admet deux solutions différentes

x1 = - b - √Δ x2=- b + √Δ
2a2a
= -(-3)-√1 = -(-3)+√1
2.12.1
x1 = 3 - 1 x2 = 3 + 1
22
= 2 = 4
22

Donc x1=1 et x2=2
Ainsi S1 = { 1 ; 2}
2) L'équation (E2) est définie sur IR . Soit x∈IR

(E2) ⇔ ex - 3 + 2 = 0
ex
(E2) ⇔ (ex)² - 3ex + 2 = 0
ex

∀x∈IR on a ex ≠ 0
Donc (E2) ⇔ (ex)² - 3ex + 2 = 0
On pose X = ex l'équation (E2) devient
X² - 3X + 2 = 0

D'après la questient (1) on a
X = 1 ou X = 2
X=1 ⇔ ex=1
⇔ x = ln1 = 0
et X = 2 ⇔ ex = 2
⇔ x = ln2
Ainsi S2 = { 0 ; ln2 }

3) L'inéquation (I) est définie sur IR . Soit x∈IR

(I) ⇔ ex - 3 + 2 ≥ 0
ex
(ex)² - 3ex + 2 ≥ 0
ex

∀x∈IR on a ex > 0
Donc (I) ⇔ (ex)² - 3ex + 2 ≥ 0
On pose X = ex l'inéquation (I) devient
X² - 3X + 2 ≥ 0

On étudie le signe du trinôme T(X) définie par
T(X) = X² - 3X + 2
D'après la questient (1) on déduit que le trinôme T(X) admet deux racines diffférentes
X1 = 1 et X2 = 2
Donc T(X) = a(X - X1)(X - X1)
ou encore T(X) = (X - 1)(X - 2)
Ainsi l'inéquation (I) ⇔ (ex - 1)(ex - 2) ≥ 0
on étudie le signe du produit de ex - 1 par ex - 2

D'après la question (2)
ex - 1 = 0 ⇔ x = 0
et ex - 2 = 0 ⇔ x = ln2

x -∞ 0 ln2 +∞
ex - 1 - 0+ |+
ex - 2 - |- 0+
(ex-1)(ex-2) + 0- 0+

ainsi SI=]-∞;0]∪[ln2;+∞[.