Exercice 1 tp

1) Résoudre dans IR l'équation
(E₁): x² - 3x + 2 = 0
2) Résoudre dans IR l'équation
(E₂): e^x + 2e^-x - 3=0
3) Résoudre dans IR, l'inéquation
(I): e^x + 2e^-x - 3 ≥ 0

Correction

1) L'équation (E₁) est définie sur IR . Soit x∈IR
Δ = b²-4ac = (-3)²-4.1.2 = 1
Δ > 0 donc l'équation (E₁) admet deux solutions différentes

Donc x₁=1 et x₂=2
Ainsi S₁ = { 1 ; 2}
2) L'équation (E₂) est définie sur IR . Soit x∈IR

∀x∈IR on a e^x ≠ 0
Donc (E₂) ⇔ (e^x)² - 3e^x + 2 = 0
On pose X = e^x l'équation (E₂) devient
X² - 3X + 2 = 0

D'après la questient (1) on a
X = 1 ou X = 2
X=1 ⇔ e^x=1
⇔ x = ln1 = 0
et X = 2 ⇔ e^x = 2
⇔ x = ln2
Ainsi S₂ = { 0 ; ln2 }

3) L'inéquation (I) est définie sur IR . Soit x∈IR

∀x∈IR on a e^x > 0
Donc (I) ⇔ (e^x)² - 3e^x + 2 ≥ 0
On pose X = e^x l'inéquation (I) devient
X² - 3X + 2 ≥ 0

On étudie le signe du trinôme T(X) définie par
T(X) = X² - 3X + 2
D'après la questient (1) on déduit que le trinôme T(X) admet deux racines diffférentes
X₁ = 1 et X₂ = 2
Donc T(X) = a(X - X₁)(X - X₁)
ou encore T(X) = (X - 1)(X - 2)
Ainsi l'inéquation (I) ⇔ (e^x - 1)(e^x - 2) ≥ 0
on étudie le signe du produit de e^x - 1 par e^x - 2

D'après la question (2)
e^x - 1 = 0 ⇔ x = 0
et e^x - 2 = 0 ⇔ x = ln2

ainsi S_I=]-∞;0]∪[ln2;+∞[.