Exercice 1 tp

Résoudre le système suivant

{	2ex + 3ey	= 7
	ex + 2ey	= 4

Correction

On pose X=e^x > 0 et Y=e^y > 0
Le système devient

{	2X + 3Y	= 7	(1)
	X + 2Y	= 4	(2)

	2X + 3Y = 7	⇔	2X + 3Y = 7
	X + 2Y = 4		X = 4 - 2Y

On remplace X dans l'équation (1) on obtient
2(4 - 2Y) + 3Y = 7
ou encore -Y = 7 - 8 = -1 ou encore Y=1
Puis on remplace la valeur de Y
dans l'équation X = 4 - 2 Y
donc X = 4 - 2.1 = 2 et donc
X = 2 ⇔ e^x = 2 ⇔ x=ln2
Y = 1 ⇔ e^y = 1 ⇔ y=ln1=0
Ainsi S = {(ln2 ; 0)}

Exercice 2 tp

Résoudre le système suivant

{	7ex + 2ey	= 5
	5ex + 4ey	= 1

Correction

On pose X=e^x > 0 et Y=e^y > 0
Le système devient

{	7X + 2Y	= 5	(1)
	5X + 4Y	= 1	(2)

On calcule le déterminant Δ

Δ =	7	2	= 7.4 - 5.2 = 28-10 = 18
	5	4

On calcule le déterminant Δ_X

ΔX =	5	1	= 5.4 - 1.2 = 18
	2	4

On calcule le déterminant Δ_Y

ΔY =	7	5	= 7.1 - 5.5 = -18
	5	1

On a Δ = 18≠0 donc le système (s) admet une solution unique le couple (X ; Y) tel que

X =	ΔX		Y =	ΔY
	Δ			Δ
=	18		=	-18
	18			18

Donc X = 1 et Y = -1
X = 1 ⇔ e^x = 1 ⇔ x = 0
et Y = -1 ⇔ e^y = -1 ce n'est pas possible
Ainsi S = ∅

Exercice 3 tp

Résoudre le système suivant

{	ex + ey	= 15
	ex + y	= 50

Correction

{	ex + ey	= 15	⇔ {	ex + ey	= 15
	ex + y	= 50		ex . ey	= 50

On pose X=e^x > 0 et Y=e^y > 0

Le système devient

{	X + Y = 15	⇔ {	Y	= 15 - X
	XY = 50		XY	= 50

Donc X(15 - X) = 50 ⇔ X² - 15X + 50 = 0 (1)
On résout l'équation (1) en utilisant le discriminant Δ
Δ = b²-4ac = 15²-4.50 = 25 > 0 donc l'équation (1) admet deux solutions

X1 =	-b - √(Δ)		X2 =	-b + √(Δ)
	2a			2a

Donc X₁ = 5 et X₂ = 10 et on a Y = 15 - X
donc si X = 5 alors Y = 15 - 5 = 10
et si X = 10 alors Y = 15 - 10 = 5
Ainsi e^x = 5 et e^y = 10
Ou e^x = 10 et e^y = 5
Et donc (x = ln10 et y = ln5)
ou (x = ln5 et y = ln10)
Enfin l'ensemble de solutions du système
S = {(ln10 ; ln5) ; (ln5 ; ln10)}
Notons que nous pouvons utiliser la propriété de la somme et le produit des racines
15 = 5 + 10 et 50 = 5 . 10.