Fonctions Exponentielles (5)
Rappel Limites usuelles . Soit n∈ℤ
lim +∞ |
ex = +∞ | lim -∞ |
ex = 0 |
lim -∞ |
xex = 0 | lim -∞ |
xnex = 0 |
lim +∞ |
ex | = +∞ | lim +∞ |
ex | = +∞ | |
| x | xn |
lim 0 |
ex - 1 | = 1 |
| x |
Exercice 1 tp
Calculer la limite suivante
lim +∞ |
ex - lnx |
Correction
lim +∞ |
ex - lnx |
La substitution directe de la limite dans l'expression de f conduit à une forme indéfinie +∞-∞, elle doit donc être effectuée d'une autre manière
| ex - lnx = x( | ex | - | lnx | ) |
| x | x |
En utilisant les deux limites usuelles suivantes
lim +∞ | ex | = +∞ | lim +∞ | lnx | = 0 | |
| x | x |
Ainsi
lim +∞ |
ex - lnx | = +∞(+∞-0) = +∞ |
Exercice 2 tp
Calculer la limite suivante
lim +∞ | x - ex |
Correction
lim +∞ |
x - ex |
La substitution directe de la limite dans l'expression de f conduit à une forme indéfinie +∞-∞
Elle doit donc être effectuée d'une autre manière
lim +∞ | x - ex = | lim +∞ | x(1- | ex | ) |
| x |
En utilisant la limite usuelle suivante
lim +∞ | ex | = +∞ |
| x |
On obtient
lim +∞ |
1 - | ex | = -∞ |
| x |
lim +∞ | x(1 - | ex | ) = +∞(-∞) = -∞ |
| x |
Ainsi
lim +∞ |
x - ex = -∞ |
Exercice 3 tp
Calculer la limite suivante
lim +∞ |
e2x - ex |
Correction
lim +∞ |
e2x - ex |
La substitution directe de la limite dans l'expression de f conduit à une forme indéfinie (+∞-∞) .
Elle doit donc être effectuée d'une autre manière
On a e2x = (ex)² donc
lim +∞ |
e2x - ex = | lim +∞ |
ex(ex - 1) |
En utilisant la limite usuelle suivante
lim +∞ |
ex | = +∞ | ⇒ | lim +∞ |
ex - 1 | = +∞ |
on obtient
lim +∞ |
e2x - ex = | +∞(+∞-1) = +∞ |