Mathématiques du secondaire qualifiant

Fonctions Exponentielles (6)

Rappel
Soit u une fonction numérique et f une fonction définie par
f(x) = eu(x)
Domaine de définition de f D = { x∈IR/ x∈Du } = Du

Dérivée de f si u est dérivable sur un intervalle I alors la fonction f= exp o u est dérivable sur I et on a
(∀x∈I): f'(x) = u'(x).eu(x)

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par
f(x) = ex²+x
Etudier la dérivabilité de la fonction f sur IR

Correction

La fonction, x→x²+x est un polynôme donc dérivable sur IR
ainsi f est définie et dérivable sur IR . Soit x∈IR
On a f '(x) = (x² + x)'ex²+x
Donc f '(x) = (2x+1)ex²+x

Exercice 2 tp

Soit g une fonction définie par
f(x) = e1/x
Etudier la dérivabilité de la fonction f sur D

Correction

f est définie si x ≠ 0 donc D = IR*
la fonction

x → 1
x

est dérivable sur IR* donc la fonction f est dérivable sur IR*

Soit x∈IR*

f '(x) = ( 1 )' e1/x
x
= - 1 e1/x

Ainsi

f '(x) = - 1 e1/x
Exercice 3 tp

Soit f une fonction définie par
f(x) = e√(x - 1)
Etudier la dérivabilité de la fonction f sur D

Correction

On pose g(x) = √(x-1)
g est définie si x-1 ≥ 0 ou encore si x∈[1 ; +∞[
Donc f est définie sur [1 ; +∞[
Ainsi D = [1 ; +∞[
La fonction g est dérivable
sur l'intervalle ouvert I=]1 ; +∞[
Donc f est dérivable sur I

Et (∀x∈I) on a f '(x) = (√(x-1))'f(x)
ou encore

f '(x) = 1.f(x)
2√(x-1)
= 1e√(x-1)
2√(x-1)

Ainsi

f '(x) = 1e√(x-1)
2√(x-1)

Il reste à étudier la dérivabilité à droite à 1
f(1) = e√(1-1) = 1


lim
1+
f(x) - f(1) =
lim
1+
e√(x-1) - 1
x-1x-1

On pose √(x-1) = X
x→1+ ⇒ X→ 0+
√(x-1) = X ⇔ x-1 = X²

Donc


lim
1+
f(x) - f(1) =
lim
X→0+
eX - 1
x-1
=
lim
X→0+
eX - 1
lim
X→0+
1
XX

= 1 x (+∞) = +∞
Et cela signifie que f n'est pas dérivable à droite à 1
Et donc f est dérivable sur l'intervalle ouvert I