Mathématiques du secondaire qualifiant

Fonctions Exponentielles (7)

Rappel
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et h une fonction définie par
h(x) = u'(x)eu(x)
Les fonctions primitives de la fonction h sont les fonctions x→eu(x)+k tel que k∈IR

Exercice 1 tp

Déterminer les fonctions primitives de la fonction f définie par
f(x) = (2x+1)ex²+x+2

Correction

La fonction x→x²+x+2 est un polynôme donc dérivable sur IR
Et on a (x²+x+2)' = 2x+1
donc f(x) = (x²+x+2)'ex²+x+2 = (ex²+x+2)'
Alors l'ensemble des primitives de f est l'ensemble des fonctions Fk définies sur IR par
Fk(x) = ex²+x+2+k tel que k∈IR

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) = 1e3/x

Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de f

Correction
La fonction x → 3
x

est dérivable sur IR*

∀x∈IR*: (3)' = -3
x

Donc

f(x) = -1 . (3) ' e3/x
3x

Alors l'ensemble des primitives de f est l'ensemble des fonctions Fk définies sur IR* par

Fk(x) = -1e3/x + k tel que k∈IR
3
Exercice 3 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) = 1e3 + √(x+1)
√(x+1)

Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de f

Correction

D = [-1 ; +∞[
la fonction x→ 3 + √(x+1) est dérivable
sur l'intervalle ouvert I = ]-1 ; +∞[

Soit x∈I

(3 + √(x+1))' = 0 + 1
2√(x+1)

Donc
f(x) = 2.(3 + √(x+1))' e3 + √(x+1)
Alors l'ensemble des primitives de f est l'ensemble des fonctions Fk définies sur I par
Fk(x) = 2e3 + √(x+1) + k tel que k∈IR

Exercice 4 tp

Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de la fonction f définie par

f(x) = 5cos(2x) - 2sin(5x)esin(2x) + cos(5x)
10
Correction

La fonction x→sin(2x)+cos(5x) est dérivable sur IR . Soit x∈IR

(sin(2x))' = 1cos(2x)
2
(cos(5x))' = - 1sin(5x)
5
(sin(2x) + cos(5x))' = 5cos(2x) - 2sin(5x)
10

Donc
f(x) = (sin(2x) + cos(5x))' esin(2x) + cos(5x)
Ainsi l'ensemble des fonctions primitives de f est l'ensemble des fonctions Fk
Fk(x) = esin(2x) + cos(5x) + k tel que k∈IR