Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par
f(x) = x - √(2x-1)
1) Déterminer D ensemble de définition de f
2) Etudier la dérivabilité de f au point 1/2
3) Etudier la dérivabilité de f sur l'intervalle

I = ]	1	; +∞[
	2

et déterminer la fonction dérivée f '

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par
f(x) = ⁿ√(x²+x+3)
1) Déterminer D ensemble de définition de f
2) Etudier la dérivabilité de f sur D
et déterminer la fonction dérivée f '

Exercice 3 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = (x²-1)^-5/3
1) Déterminer D ensemble de définition de f
2) Etudier la dérivabilité de f sur D

Correction

f est définie si x²-1>0
On étudie le signe de x²-1

x	-∞		-1		1		+∞
x²-1		+	0	-	0	+

Donc D = ]-∞:-1[∪]1;+∞[
La fonction x→x²-1 est strictement positive et dérivable sur D
donc f est dérivable sur D. Soit x∈D

f '(x) =	-5	(x²-1)'(x²-1)-5/3 - 1
	3

Donc ∀x∈D

f '(x) =	-10	x(x²-1)-8/3
	3

Exercice 4 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	∛(x²+2) - 3
	x-5

Calculer la limite suivante en utilisant la dérivée

lim 5

f(x)

Correction

On considère la fonction g définie par
g(x) = ∛ (x²+2)
D'une part g(5) = ∛ (5²+2)
= ∛ (27)
= ∛ (3³)
donc g(5) = 3
D'autre part

f(x) =	g(x) - g(5)
	x-5

La fonction x→x²+2 est dérivable et strictement positive sur l'intervalle IR , (un polynôme)
Donc g est dérivable sur IR et en particulier au point 3
Ainsi

lim 5	g(x) - g(5)	= g '(5)
	x-5

Soit x∈IR

g '(x) =	2x
	3(∛(x²+2))²

Donc

g '(5) =	10
	3(∛(5²+2))²

Ainsi

lim 5	f(x) =	10
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