Mathématiques du secondaire qualifiant

Dérivation et représentation (10)

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par
f(x) = x - √(2x-1)
1) Déterminer D ensemble de définition de f
2) Etudier la dérivabilité de f au point 1/2
3) Etudier la dérivabilité de f sur l'intervalle

I = ]1 ; +∞[
2

et déterminer la fonction dérivée f '

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par
f(x) = n√(x²+x+3)
1) Déterminer D ensemble de définition de f
2) Etudier la dérivabilité de f sur D
et déterminer la fonction dérivée f '

Exercice 3 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = (x²-1)-5/3
1) Déterminer D ensemble de définition de f
2) Etudier la dérivabilité de f sur D

Correction

f est définie si x²-1>0
On étudie le signe de x²-1

x-∞-11+∞
x²-1+0-0+

Donc D = ]-∞:-1[∪]1;+∞[
La fonction x→x²-1 est strictement positive et dérivable sur D
donc f est dérivable sur D. Soit x∈D

f '(x) = -5 (x²-1)'(x²-1)-5/3 - 1
3

Donc ∀x∈D

f '(x) = -10 x(x²-1)-8/3
3
Exercice 4 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) = ∛(x²+2) - 3
x-5

Calculer la limite suivante en utilisant la dérivée


lim
5
f(x)
Correction

On considère la fonction g définie par
g(x) = ∛ (x²+2)
D'une part g(5) = ∛ (5²+2)
= ∛ (27)
= ∛ (3³)
donc g(5) = 3
D'autre part

f(x) = g(x) - g(5)
x-5

La fonction x→x²+2 est dérivable et strictement positive sur l'intervalle IR , (un polynôme)
Donc g est dérivable sur IR et en particulier au point 3
Ainsi


lim
5
g(x) - g(5) = g '(5)
x-5

Soit x∈IR

g '(x) =2x
3(∛(x²+2))²

Donc

g '(5) =10
3(∛(5²+2))²

Ainsi


lim
5
f(x) = 10
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