Dérivation et représentation (9)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = √( | x+1 | ) |
| x-1 |
1) Déterminer D, le domaine de définition de f
2) Calculer les limites suivantes
lim (-1) |
f(x) | lim 1+ |
f(x) | |
lim -∞ |
f(x) | lim +∞ | f(x) |
3) Etudier la dérivabilité de f en -1
4) Montrer que ∀x∈I=D\{-1}
| f '(x) = | -1 | f (x) |
| x²-1 |
puis étudier son signe sur I et tracer le tableau de variations de f
5) Soit g la restriction de f sur l'intervalle
I=]1 ; +∞[
(a) Montrer que g admet une fonction réciproque définie sur J qui doit être déterminé
(b) Calculer g(2) et montrer que la fonction g-1 est dérivable au point √(3)
et déterminer (g-1)'(√(3))
(c) Déterminer g-1 sur J
Correction
1) f est définie si x≠1 et (x+1)÷(x-1)≥0
| x | -∞ | -1 | 1 | +∞ | |||
| x+1 | - | 0 | + | | | + | ||
| x-1 | - | | | - | 0 | + | ||
| (x+1)÷(x-1) | + | 0 | - | || | + |
Donc D=]-∞;-1]∪]1;+∞[
2) Limite en (-1)
lim -1 | x+1 | = | 0 | =0 |
| x-1 | -2 |
| ⇒ | lim -1 | √( | x+1 | ) = 0 |
| x-1 |
| Ainsi | lim -1 | f(x) = 0 |
Limite de f en +∞
lim +∞ | x+1 | = | lim +∞ | x | =1 |
| x-1 | x |
| ⇒ | lim +∞ | √( | x+1 | ) = √(1) |
| x-1 |
| ainsi | lim +∞ | f(x) | = 1 |
Limite de f en -∞
lim -∞ | x+1 | = | lim -∞ | x | =1 |
| x-1 | x |
| ⇒ | lim -∞ | √( | x+1 | ) = √(1) |
| x-1 |
| ainsi | lim -∞ | f(x) | = 1 |
Limite à droite à 1
x > 1 ⇔x-1 > 0
| x | -∞ | 1 | +∞ | ||
| x-1 | - | 0 | + |
lim 1+ | x+1 | = | 2 | = +∞ |
| x-1 | 0+ |
lim 1+ | f(x)= | lim 1+ | √( | x+1 | ) = +∞ |
| x-1 |
3) Dérivabilité de f en (-1)- , f(-1)=0
x+1 ≤0 donc x+1 =-|x+1| = -√(x+1)²
lim (-1)- |
f (x)-f(-1) | = |
| x+1 |
lim (-1)- |
- 1 | × √( | x+1 | ) |
| √(x+1)² | x-1 | |||
| = | lim (-1)- |
- √( | x+1 | ) |
| (x+1)²(x-1) |
| = | lim (-1)- |
- √( | 1 | ) |
| (x+1)(x-1) |
| On a | lim (-1)- |
1 | = | 1 |
| (x+1)(x-1) | 0+ |
| Donc | lim (-1)- |
√( | 1 | )=+∞ |
| (x+1)(x-1) |
| Ainsi | lim (-1)- | f (x)-f(-1) | = - ∞ |
| x+1 |
Et donc f n'est pas dérivable au point (-1)
Et de plus la courbe (C) admet une demi-tangente verticale au point d'abscisse (-1)
4) On pose f(x)=√(h(x))
h est une fonction de référence donc dérivable sur IR\{1} en particulier sur I=D\{-1} et strictement positive sur I
Donc f est dérivable sur I . Soit x∈I
| f '(x)= | h '(x) |
| 2√(h(x)) |
| On a h '(x) = | 1(x-1)-(x+1)1 | = | -2 |
| (x-1)² | (x-1)² |
| Donc | f '(x) = | -2 |
| 2(x-1)²√(h(x)) | ||
| ou encore | f '(x) = | -√(h(x)) |
| (x-1)²(h(x)) |
| Ainsi | f '(x) = | -√(h(x)) | = | -f(x) |
| (x-1)(x+1) | x²-1 |
∀x∈I on a f(x)> 0 et x²-1>0 donc f'(x)< 0
Ainsi f est strictement décroissante sur
]-∞;-1[ et sur ]1;+∞[
| x | -∞ | -1 | 1 | +∞ | |||
| f '(x) | -∞ | || | || | ||||
| f | 1 | ↘ | 0 | +∞ | ↘ |
1 |
5) (a) f est continue et strictement décroissante
sur I=]1 ; +∞[ donc sa restriction g est continue et strictement décroissante sur I
Alors g admet une fonction réciproque g-1 définie de J=f(]1 ; +∞[) vers I
| J = ] | lim +∞ |
f(x) ; | lim 1+ |
f(x)[ |
Ainsi J = ]1 ; +∞[
(b) On a calcule g(2)=f(2)
| f(2) = √( | 2+1 | ) = √(3) |
| 2-1 |
(b) On a g(2)=√(3) et √(3)∈J donc g-1(√(3))=2
et on a g est dérivable au point 2
| et g '(2) = | -f(2) | = | -√(3) | ≠ 0 |
| 2² - 1 | 3 |
alors g-1 est dérivable au point √(3)
| (g-1)'(√(3)) = | 1 | = | -3 |
| g '(2) | √(3) |
Donc (g-1)'(√(3)) = -√(3)
(c) g est strictement décroissante sur I donc g-1 est également strictement décroissante sur J
Soit x∈J=]1 ; +∞[ on a g-1(x)=y⇔g(y)=x
| √( | y+1 | ) = x ⇔ y+1 = x²(y-1) |
| y-1 |
⇔ y(x²-1) = x²+1
| ⇔ y = | x²+1 |
| x²-1 |
Ainsi ∀x∈J=]1 ; +∞[
| g-1(x) = | x²+1 |
| x²-1 |