Mathématiques du secondaire qualifiant

Dérivation et représentation (9)

Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) = √(x+1)
x-1

1) Déterminer D, le domaine de définition de f
2) Calculer les limites suivantes


lim
(-1)
f(x)
lim
1+
f(x)

lim
-∞
f(x)
lim
+∞
f(x)

3) Etudier la dérivabilité de f en -1
4) Montrer que ∀x∈I=D\{-1}

f '(x) = -1f (x)
x²-1

puis étudier son signe sur I et tracer le tableau de variations de f
5) Soit g la restriction de f sur l'intervalle
I=]1 ; +∞[
(a) Montrer que g admet une fonction réciproque définie sur J qui doit être déterminé

(b) Calculer g(2) et montrer que la fonction g-1 est dérivable au point √(3)
et déterminer (g-1)'(√(3))
(c) Déterminer g-1 sur J

Correction

1) f est définie si x≠1 et (x+1)÷(x-1)≥0

x -∞ -1 1+∞
x+1-0 +|+
x-1-| -0+
(x+1)÷(x-1)+0 -||+

Donc D=]-∞;-1]∪]1;+∞[

2) Limite en (-1)


lim
-1
x+1=0=0
x-1-2

lim
-1
√(x+1) = 0
x-1
Ainsi
lim
-1
f(x) = 0

Limite de f en +∞


lim
+∞
x+1=
lim
+∞
x=1
x-1x

lim
+∞
√(x+1) = √(1)
x-1
ainsi
lim
+∞
f(x) = 1

Limite de f en -∞


lim
-∞
x+1=
lim
-∞
x=1
x-1x

lim
-∞
√(x+1) = √(1)
x-1
ainsi
lim
-∞
f(x) = 1

Limite à droite à 1
x > 1 ⇔x-1 > 0

x-∞1 +∞
x-1-0 +

lim
1+
x+1=2= +∞
x-10+

lim
1+
f(x)=
lim
1+
√(x+1) = +∞
x-1

3) Dérivabilité de f en (-1)- , f(-1)=0
x+1 ≤0 donc x+1 =-|x+1| = -√(x+1)²


lim
(-1)-
f (x)-f(-1) =
x+1

lim
(-1)-
- 1× √( x+1)
√(x+1)² x-1
=
lim
(-1)-
- √(x+1)
(x+1)²(x-1)
=
lim
(-1)-
- √(1)
(x+1)(x-1)
On a
lim
(-1)-
1 = 1
(x+1)(x-1)0+
Donc
lim
(-1)-
√( 1 )=+∞
(x+1)(x-1)
Ainsi
lim
(-1)-
f (x)-f(-1) = - ∞
x+1

Et donc f n'est pas dérivable au point (-1)
Et de plus la courbe (C) admet une demi-tangente verticale au point d'abscisse (-1)
4) On pose f(x)=√(h(x))
h est une fonction de référence donc dérivable sur IR\{1} en particulier sur I=D\{-1} et strictement positive sur I
Donc f est dérivable sur I . Soit x∈I

f '(x)= h '(x)
2√(h(x))
On a h '(x) = 1(x-1)-(x+1)1 = -2
(x-1)²(x-1)²
Donc f '(x) = -2
2(x-1)²√(h(x))
ou encore f '(x) = -√(h(x))
(x-1)²(h(x))
Ainsi f '(x) = -√(h(x)) = -f(x)
(x-1)(x+1) x²-1

∀x∈I on a f(x)> 0 et x²-1>0 donc f'(x)< 0
Ainsi f est strictement décroissante sur
]-∞;-1[ et sur ]1;+∞[

x -∞ -11 +∞
f '(x)-∞ ||||
f1


0
+∞


1

5) (a) f est continue et strictement décroissante
sur I=]1 ; +∞[ donc sa restriction g est continue et strictement décroissante sur I

Alors g admet une fonction réciproque g-1 définie de J=f(]1 ; +∞[) vers I

J = ]
lim
+∞
f(x) ;
lim
1+
f(x)[

Ainsi J = ]1 ; +∞[

(b) On a calcule g(2)=f(2)

f(2) = √(2+1) = √(3)
2-1

(b) On a g(2)=√(3) et √(3)∈J donc g-1(√(3))=2
et on a g est dérivable au point 2

et g '(2) = -f(2) = -√(3) ≠ 0
2² - 13

alors g-1 est dérivable au point √(3)

(g-1)'(√(3)) = 1 = -3
g '(2)√(3)

Donc (g-1)'(√(3)) = -√(3)

(c) g est strictement décroissante sur I donc g-1 est également strictement décroissante sur J
Soit x∈J=]1 ; +∞[ on a g-1(x)=y⇔g(y)=x

√( y+1 ) = x ⇔ y+1 = x²(y-1)
y-1

⇔ y(x²-1) = x²+1

⇔ y = x²+1
x²-1

Ainsi ∀x∈J=]1 ; +∞[

g-1(x) = x²+1
x²-1