Mathématiques du secondaire qualifiant

Dérivation et représentation (7)

Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

{ f(x) = √(x²-4x-1)-2 si x≠5
x-5
f(5) = βsi x = 5

1) Déterminer D le domaine de définition de f
2) Déterminer β de sorte que f admet une limite finie en 5 en utilisant une fonction dérivée, qui doit être déterminée

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = 2x-2 + √(x-1)
1) Calculer la limite suivante


lim
+∞
f(x)

2) Etudier la dérivabilité de f en 1
3) Etudier la monotonie de f sur ]1 ; +∞[ et tracer son tabeau de variations
4) Montrer que f admet une fonction réciproque définie sur J qui doit être déterminé

Exercice 3 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x)=√(5+x)
x²-25

1) Déterminer D, le domaine de définition de f
2) Calculer les limites suivantes


lim
(-5)+
f(x)
lim
5
f(x)
lim
+∞
f(x)

3) Etudier la dérivabilité de f sur D
et montrer que pour x∈D

f '(x) = - (3x²+20x+25)
2(x²-25)²√(5+x)

4) Etudier le signe de f '(x) et déduire le sens de variations de f sur D
5) Tracer le tableau de variations de f

Exercice 4 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) = √(x+1)+1
√(x+1)

1) Déterminer D le domaine de définition de f
2) Calculer les limites suivantes


lim
(-1)+
f(x)
lim
+∞
f(x)

3) Montrer que ∀x∈D

f '(x) = x
2(x+1)√(x+1)

et étudier son signe puis tracer le tableau de variations de f
4) Soit g la restriction de f sur l'intervalle
I=]-1 ; 0[
(a) Montrer que g admet une fonction réciproque définie sur J qui doit être déterminé
(b) Déterminer les variations de g-1 sur J

Exercice 5 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) = √(x²-4)
x+2

1) Déterminer D le domaine de définition de f
2) Calculer les limites suivantes


lim
-∞
f(x)
lim
+∞
f(x)
lim
(-2)-
f(x)

3) Etudier la dérivabilité de f en 2
4) Montrer que ∀x∈I=D\{2}

f '(x) = 2
√(x²-4)

et tracer le tableau de variations de f
5) Soit g la restriction de f sur l'intervalle
I=]-∞ ; -2[
(a) Montrer que g admet une fonction réciproque définie sur J qui doit être déterminé
(b) Déterminer les variations de g-1 sur J