Mathématiques du secondaire qualifiant

Dérivation et représentation (8)

Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) = x
√(|x+1|)

1) Déterminer D, le domaine de définition de f
2) Calculer les limites suivantes


lim
(-1)
f(x)
lim
-∞
f(x)
lim
+∞
f(x)

3) (a) Calculer f '(x) et étudier son signe puis tracer le tableau de variations de f sur D

(b) Déduire le signe de la fonction f
4) Soit g la restriction de f sur l'intervalle
I=]-1 ; +∞[
(a) Montrer que g admet une fonction réciproque définie sur J qui doit être déterminé
(b) Calculer (g -1)'(0)

Correction

1) f est définie si |x+1|≠0
Donc D=]-∞;-1[∪]-1;+∞[
2) on peut écrire f(x) sans valeur absolue
(x≥ -1 ⇔ |x+1|=x+1)
et (x≤ -1 ⇔ |x+1|=-x-1)

Donc

{f(x) = x si x < -1
√(-x-1)
f(x) = x si x > -1
√(x+1)

lim
-∞
x =
lim
-∞
x√(-x-1)
√(-x-1)-x-1
=
lim
-∞
x
lim
-∞
√(-x-1)
-x-1
=
lim
-∞
x
lim
-∞
√(-x-1)
-x

lim
-∞
f(x)= = -1.(+∞) = - ∞

lim
+∞
x =
lim
+∞
x√(x+1)
√(x+1)x+1
=
lim
+∞
x
lim
+∞
√(x+1)
x+1
=
lim
+∞
x
lim
+∞
√(x+1)
x

lim
+∞
f(x) = 1.(+∞) = + ∞

|x+1|≥0 d'ou lim|x+1|≥0 ainsi lim√(|x+1|)≥0


lim
-1
x = -1 = - ∞
√(|x+1|)0+
Donc
lim
-1
f(x) = - ∞

3) (a) Monotonie de f sur I=]-∞;-1[

f(x) = x si x< -1
√(-x-1)

x→(-x-1) est strictement positive sur I et dérivable sur IR en particulier sur I

De même x→x est dérivable sur I alors f est dérivable sur I . Soit x∈I on a

f '(x) = √(-x-1) - x(√(-x-1))'
(√(-x-1))²
= 2(√(-x-1))² + x
2(-x-1)√(-x-1)
Ainsi f '(x) = -x-2
2(-x-1)√(-x-1)

f '(x) est de signe de -x-2
f '(x)=0⇔ -x-2=0⇔x=-2
f est strictement croissante sur ]-∞;-2] et strictement décroissante sur [-2;-1[
Monotonie de f sur J=]-1;+∞[

On a f(x) = x si x > -1
√(x+1)

x→(x+1) est strictement positive sur J et dérivable sur IR en particulier sur J
de même x→x est dérivable sur J alors f est dérivable sur J. Soit x∈J on a

f '(x) = √(x+1) - x(√(x+1))'
(√(x+1))²
= 2(√(x+1))² - x
2(x+1)√(x+1)
Donc f '(x) = x+2
2(x+1)√(x+1)

f'(x) est de signe de x+2
f'(x)=0 ⇔ x+2=0 ⇔ x=-2
-2∉I2 et x+2>0 et donc f est strictement croissante sur ]-1;+∞[ . Ainsi f ' est définie par

{ f '(x) = -x-2 si x <-1
2(-x-1)√(-x-1)
f '(x) = x+2 si x>-1
2(x+1)√(x+1)

Tableau de variations de f

x -∞ -2 -1 +∞
f'(x) + 0 - +
f

-∞

-2


-∞


-∞

+∞

(b) f est strictement croissante sur ]-∞ ; -2]
et strictement décroissante sur [-2 ; -1[
donc f(-2) est une valeur maximale
sur ]-∞ ; -1[ et puisque f(-2)=0
alors ∀x∈]-∞ ; -2] on a f(x)≤0
donc f est négative sur ]-∞ ; -2]

On a f est strictement croissante sur ]-1 ; +∞[
Puisque 0∈]-1 ; +∞[ et f(0)=0 alors f est négative sur ]-1 ; 0] et positive sur [0 ; +∞[
4) (a) On a f est continue et strictement croissante sur ]-1 ; +∞[ donc la restriction g est continue et strictement croissante sur I=]-1 ; +∞[ et donc g admet une fonction réciproque g-1 définie de J=f(]-1 ; +∞[) veres I

J = ]
lim
(-1)+
f(x) ;
lim
-∞
f(x)[

Ainsi J = ]-∞ ; +∞[ = IR

(b) On a f(0)=0 et 0∈J donc g-1(0)=0
Puisque g est dérivable au point 0

et g '(0) = 0+2 = 1 ≠ 0
2(0+1)√(0+1)

alors g-1 est dérivable au point 0

(g-1)'(0) = 1 = 1
g '(0)1

Donc (g-1)'(0) = 1
(c) g est strictement croissante sur I donc g-1 est également strictement croissante sur J