Calcul Intégral (10)
Exercice 1 tp
1) Montrer que (∀t∈I=[1 ; e])
| 1 | = | 1-t | + | 1 |
| t²(1+t) | t² | 1+t |
2) Calculer
| K = | 1 ∫ 0 |
1 | dx |
| ex(1+ex) |
Correction
1) Soit t∈I=[1 ; e]
| 1-t | + | 1 | = | (1+t)(1-t) + t² |
| t² | 1+t | t²(1+t) |
| = | 1-t²+t² | = | 1 | |
| t²(1+t) | t²(1+t) |
Donc ∀t∈I
| 1 | = | 1-t | + | 1 |
| t²(1+t) | t² | 1+t |
2) Calcul K, les fonctions x→ex et x→1+ex sont continues sur IR et ne s'annulent pas donc leurs inverses sont continues sur IR ainsi f est continue sur IR en particulier sur [0;1] et donc f admet des parimitives sur [0;1].
On pose t=ex donc dt=exdx.
(x=0 ⇒ t=1) et (x=1 ⇒ t=e)
| K = | e ∫ 1 |
1 | dt |
| t(1+t) | t |
Ou encore
| K = | e ∫ 1 |
1 | dt |
| t²(1+t) |
En utilisant la question précédente on obtient
| 1 ∫ 0 |
1 | dx = | e ∫ 1 |
1-t | + | 1 | dt |
| ex(1+ex) | t² | 1+t |
| = | e ∫ 1 |
1 | - | 1 | + | 1 | dt |
| t² | t | 1+t |
Donc
| K = [ | -1 | - ln(t) | + ln(1+t)] | e 1 |
| t |
ou encore
| K = | -1 | + 1 - ln(e)+ ln(1+e) - ln(2) |
| e |
ainsi
| K = | -1 | + ln(1+e) - ln(2) |
| e |
Exercice 2 tp
Soit f une fonction numérique définie sur I=[1;e] par
| f(x) = | x+1 |
| 1 + x³ |
Calculer
| F = | e ∫ 1 | f(x) | dx |
Correction
f est une fonction rationnelle donc continues sur D=IR \{-1} en particulier sur I donc elle admet des fonctions primitives sur I.
On a x³ + 1 = (x+1)(x²+x+1)
| donc | e ∫ 1 |
f(x) | dx = | e ∫ 1 |
1 | dx |
| x²+x+1 |
En utilisant la forme canonique du trinôme
x²+x+1.
On obtient
| x²+x+1 = (x + | 1 | )² + | 3 | |
| 2 | 4 | |||
| = | 3 | ( 1 + ( | 2x + 1 | )²) |
| 4 | √(3) |
On pose
| t = | 2x + 1 | ⇒ dx = | √(3) | dt |
| √(3) | 2 |
(x=-½ ⇒ t=0) et (x=1 ⇒ t=√(3))
donc
| F = | 2√(3) | √(3) ∫ 0 |
1 | dt |
| 3 | 1 + t² |
On a
| √(3) ∫ 0 |
1 | dt | = [arctan(t)] | √(3) 0 |
| 1 + t² |
= arctan(√(3) - arctan(0))
| = | π |
| 3 |
ainsi
| F = | 2π√(3) |
| 9 |