4- Fonctions et suites définies par l'integrale

4.1 Fonction définie par l'integrale

Propriété

Soit f une fonction continue sur I=[a;b].
La fonction f définie sur I par

x→f(x) =

x ∫ a

g(t)dt

est la fonction primitive de g qui s'annule en a.

Démonstration
La fonction g est continue sur l'intervalle I donc elle admet des primitives sur cet intervalle , notée G.
et donc (∀x∈I) on a f(x)=G(x)-G(a)
ainsi la fonction f s'annule au point a.
La fonction G est dérivable sur I donc f est dérivable sur I
et de plus (∀x∈I) on a f'(x)=G'(x)=g(x)
et par conséquent f est la fonction primitive de g qui s'annule en a.

Exemple
Soit f une fonction définie par

f(x) =	- 1
	x²

La fonction primitive G de f qui s'annule en 2 est définie par

G(x) =

x ∫ 2

f(t)dt

=	x ∫ 2	- 1	dt	= [	1	]	x 2
		t²			t

Ainsi

G(x) =	1	-	1
	x		2

Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie sur IR par

f(x) =

x ∫ 0

(2t)et²-1

dt

1) Etudier la parité de la fonction f.
2) Montrer que (∀x∈IR⁺)

f(x) ≥	1	x4 - x²
	2

et calculer

lim +∞

f(x)

3) Montrer que f est continue et dérivable sur IR.
4) Calculer f '(x) pour tout x∈IR et déterminer les variations de f.
5) Tracer la courbe (C) dans un repère orthonormé.

Correction

1) Soit g la fonction définie sur IR par
g(t) = (2t)e^t²-1.
Soit x∈IR. g est le produit de deux fonctions continues sur I=[0 ; x] donc g est continue sur I et par suite elle admet une integrale sur I.

f est donc définie sur IR.
D=IR donc (∀x∈IR) on a (-x)∈IR.
Soit x∈IR

f(- x) =

- x ∫ 0

(2t)et²-1

dt

On pose t=- u donc dt = -du
( si t=0⇒ u=0) et (si t=-x⇒ u=x).

f(- x) =	x ∫ 0	(-2u)e(-u)²-1	(-1)du
=	x ∫ 0	(2u)eu²-1	du

Notons que l'integrale ne dépend pas du choix de la lettre u.
Et donc f(-x)=f(x) et cela signifie que f est une fonction paire.
2) (∀x∈IR): e^x≥x donc (∀t∈IR⁺) on a e^t²-1≥t²-1
ou encore 2t.e^t²-1≥2t(t²-1)
ou encore

f(x) ≥	1	[(t²-1)²]	x 0
	2
⇒ f(x) ≥	1	((x²-1)² - 1)
	2

Ainsi (∀x∈IR⁺)

f(x) ≥	1	x4 - x²
	2

puisque

lim +∞	1	x4 - x²	=	lim +∞	1	x4 = +∞
	2				2

alors en utilisant le critère de convergence on obtient

lim +∞

f(x) = +∞

3) Comme on a dit au dessus que g est continue sur I donc elle admet une fonction primitive sur cet intervalle, notée G qui s'annule en 0. donc (∀x∈IR) on a f(x)=G(x).
La fonction G est continue et dérivable sur IR donc f est continue et dérivable sur IR.
Soit x∈IR on a f'(x)=G'(x)=g(x).
donc (∀x∈IR) on a f'(x)=2xe^x²-1.
Variations de f. Soit x∈IR
f'(x)=0 ⇔ 2xe^x²-1=0 ⇔ x=0
Si x>0 alors f'(x) > 0 ainsi f est strictement croissante sur IR⁺.

f est une fonction paire donc f est strictement décroissante sur IR^-.

x		-∞		0		+∞
f '(x)		+∞	↘	0	↗	+∞

Déterminons G. La fonction x→x²-1 est dérivable sur IR et (x²-1)'=2x
donc f'(x)=(x²-1)'e^x²-1=(e^x²-1)'.
ainsi G(x)=e^x²-1+k
et G(0)=0 donc k=-e^-1.
alors (∀x∈IR) on a f(x)=G(x)=e^x²-1-e^-1.