Mathématiques du secondaire qualifiant

Calcul Intégral (9)

Exercice 1 tp

Calculer

e

1
1 dx
x(1+lnx)
Correction

Les fonctions x→x et x→1+ln(x) sont continues et ne s'annulent pas sur l'intervalle I=[1;e] donc leurs inverses sont également continues sur I et donc f est continues sur I.

Ainsi f admet des fonctions primitives sur I.
La fonction x→1+ln(x) est dérivable sur I.

On a (1+lnx)'= 1
x

donc

1 = (1+lnx)'
x(1+lnx) 1+lnx

ainsi

e

1
1 dx = [ln(1+lnx)] e
1
= ln(2)
x(1+lnx)