Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie sur IR⁺ par

f(x) =	ln(x²+2x+1) ∫ 0	1	dt
		1 + et

1) Déterminer D, l'ensemble de définition de f.
2) Montrer que f est continue et dérivable sur IR⁺.
3) Calculer f'(x) pour tout x∈D et déduire que f est strictement croissante sur D.

4) Montrer que (∀x∈D)

f(x) = ln2(	x²+2x+1	)
	x²+2x+2

5) (a) Calculer

lim +∞

f(x)

et déduire que (C) admet une asymptote au voisinage de +∞.
(b) Dresser le tableau de variations de f.
(c) Construire la courbe (C) dans un repère orthonormé.

Correction

1) f est une fonction numérique définie par une integrale sous la forme

f(x) =

φ(x) ∫ 0

g(t)

dt

ou φ(x) = ln(x²+2x+1)

et g(t) =	1
	1 + et

Premièrement on détermine le domaine de définition de φ

D_φ={x∈IR⁺ / x²+2x+1 > 0}
= {x∈IR⁺ / (x+1)² > 0} ={x∈IR / x+1≠0}.
Puisque (∀x∈IR⁺) on a x≠-1 donc D_φ = IR⁺. Soit x∈IR⁺
La fonction g est définie et continue sur l'intervalle I=[0;φ(x)] donc elle admet une integrale sur cet intervalle et donc la fonction f est bien définie sur IR⁺.
ainsi D_f=IR⁺.

2) On a dit précédement que g est est continue sur I donc elle admet des fonctions primitives sur cet intervalle.
On choisit une, notée G
donc (∀x∈IR⁺) on a f(x)=G(φ(x))-G(0).
La fonction G est dérivabe sur IR⁺. Soit x∈IR⁺

G'(x) = g(x) =	1
	1+ex

la fonction φ est définie ; continue et dérivable sur IR⁺

Car φ est une composée de deux fonctions ln et p:x→x²+2x+1 où p est strictement positive et dérivable sur IR⁺.

φ(IR+)=[φ(0) ;

lim +∞

φ(x) [

ou encore φ(IR⁺)=[0;+∞[⊂IR⁺ donc la composée Goφ est définie ; continue et dérivable sur IR⁺.
ainsi f est continue et dérivable sur IR⁺.

3) On a (∀x∈IR⁺)
f'(x)= G'(φ(x)).φ'(x).
Puisque (∀x∈IR⁺)

φ'(x) =	2x+2	=	2
	(x+1)²		x+1

alors

f '(x) =	2
	(x+1)(1+eφ(x))
=	2
	(x+1)(1+x²+2x+1)

Et par conséquent (∀x∈IR⁺)

f '(x) =	2
	(x+1)(x²+2x+2)

Variations de f
(∀x∈IR⁺) on a x²+2x+2>0 et x+1>0
donc f' est strictement positive sur IR⁺.
et donc f est strictement croissante sur IR⁺.

4) Soit x∈IR⁺ et t∈[0;ln(x²+2x+1)]

on a	1	= 1 -	et
	1+et		1+et

donc

f(x) =

[t - ln(1+et)]

ln(x²+2x+1) 0

ou encore

=

ln(x²+2x+1)

- ln(1+x²+2x+1) + ln(2)

Et par suite (∀x∈IR⁺)

f(x) = ln2(	x²+2x+1	)
	x²+2x+2

5) (a) On a

lim +∞	f(x) =	lim +∞	ln	2(x²+2x+1)
				x²+2x+2

puisque

lim +∞	2(x²+2x+1)	=	lim +∞	2x²
	x²+2x+2			x²

Alors	lim +∞	ln	2(x²+2x+1)	= ln(2)
			x²+2x+2

ainsi

lim +∞

f(x) = ln(2)

et cela signifie que (C) admet une asymptote au voisinage de +∞.
(b) Tableau de variations de f

x		0		+∞
f'(x)			+
f		0	↗	ln(2)

(c) L acourbe (C)