Mathématiques du secondaire qualifiant

Calcul intégral (8)

3.2 Calcul de volumes

3.2.1 Volume d'un solide

Soit S(t) l'aire d'intersection d'un plan avec un solide.
Le volume du solide délimité par les deux plans
(P):x=a et (Q):x=b est défini par

V = b

a
S(t)dx .UV
3.2.2 Volume d'un solide engendré par une rotation

Soit f une fonction continue sur I=[a;b].
Une rotation complète de la courbe (C) au tour de l'axe des abscisses engendre un solide.

L'intersection d'un plan d'équation x=t avec ce solide est un cercle de rayon f(t) et de surface π(f(t))².

Propriété
Le volume d'un solide engendré par la rotation complète de la courbe (C) d'une fonction f continue sur [a;b] au tour de l'axe des abscisses et délimité par les deux plan
(P):x=a et (Q):x=b est défini par

V = b

a
π (f(x))²dx .UV

Exemple
Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = √(x)e
et (C) sa courbe dans un repère orthonormé (O;i;j).
Calculer le volume V du solide engendré par une rotation de la courbe (C) au tour de l'axe des abscisses et délimité par les plans
(P):x=0 et (Q):x=1.

Correction
f est continue sur l'intervalle I=[0;1] car f est le produit de deux fonctions continues sur I (√ et exp) donc

V = 1

0
π(f(x))² dx UV
= 1

0
π(√(x)e dx UV
= π 1

0
x.e2x² dx UV

La fonction g: x→2x² est dérivable sur I
et g'(x)=4x

donc V = π 1

0
1 (2x²)'.e2x² dx UV
4
= π [ e2x²] 1
0
UV
4

ainsi

V = π [ e² - 1) UV
4