1.3 Partie stable et Loi extraite

1.3.1 Partie stable

Définition
Soit (E ; T) un ensemble muni d'une LCI T et H⊂E.
On dit que H est stable pour la LCI T
si (∀(x;y)∈H×H) : (xTy)∈H.

Exemples
1) Soit (IR ; +) un ensemble muni d'une LCI (+).
IN⊂IR et IN est une partie stable pour LCI +.

2) Soit (IR;-) un ensemble muni d'une LCI (-).
ℤ⊂IR et ℤ est une partie stable pour LCI (-).
3) IN n'est pas stable pour - car 2-3∉IN
4) P_imp ensemble des nombres impairs n'est pas stable pour LCI (+)
car 5+3=8 n'est pas un nombre impair.
5) Soit (IR;×).
P_imp est stable pour LCI ×.

1.3.2 Loi extraite

Définition
Soient (E ; ⊥) un ensemble muni d'une LCI ⊥ et F⊂E.
si F est stable pour la LCI ⊥ et les propriétes de ⊥ dans E restent vraies dans F alors on dit que ⊥ est une Loi extraite de E dans F.

1.3.3 Ecriture na et aⁿ

Propriété
Soit (E ; ⊥) un ensemble muni d'une LCI ⊥ associative et d'élément neutre e.
1) (∀a∈E): a°=e et aⁿ=a⊥a⊥ .. ⊥ a (n facteurs égaux à a).
2) na = a+a+...+a avec n∈IN*.

1.3.4 Elément régulier

Définition
On dit que r est un élément régulier dans (E;T)
si (∀(x;y)∈E²) on a (rTx = rTy) ⇒ x=y
et (∀(x;y)∈E²) on a (xTr = yTr) ⇒ x=y.

Exemples
1) (∀x∈C*²) est régulier dans (C*;×).
2) Un élément ā de ℤ/pℤ est régulier dans (ℤ/pℤ;×) si a∧p=1.

(i) Pour la congruence modulo p
On pose a=5 et p=7.
15×x ≡ 5[7] ⇔ 3×x≡1[7]
et x×15≡5[7] ⇔ x×3≡1[7]
car 5∧7=1
donc 5 est régulier pour la congruence modulo 7.
(ii) 2×x≡2[4]
2∧4≠1 On utilise le tableau de restes pour la congruence modulo 4.

donc 2 × x ≡ 2 [4] ⇏ x ≡ 1 [4]
mais 2 × x ≡ 2 [4] ⇒ x ≡ 1 [4] ou x ≡ 3 [4]
donc 2 n'est pas régulier pour la congruence modulo 4.

Théorème
Soit E un ensemble muni d'une LCI T associative et d'élément neutre e.
Tout élément symétrisable est régulier dans E.

Démonstration
Soient a∈E et a' son symétrique et (x;y)∈E².
1) Si aTx = aTy
aTx=aTy ⇒ a'T(aTx)=a'T(aTy)
⇒ (a'Ta)Tx = (a'Ta)Ty
⇒ eTx = eTy
⇒ x=y
2) De même si xTa=yTa ⇒ (xTa)Ta'
⇒ xT(aTa') = T(aTa')
⇒ xTe = yTe
⇒ x=y cqfd.