Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) =	x³ - 1
	x-1

1) Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de f.
2) Déterminer G la fonction primitive de f qui vérifie la condition

G(3) =	- 1
	2

Correction

f est une fonction rationnelle donc elle est continue sur son domaine de définition D
D = {x∈IR / x-1≠0} = IR\{1} donc elle admet des fonctions primitives sur IR\{1}.
On remarque que le polynôme P(x)=x³-1 s'annule en 1 donc il est divisible par x-1.
P(x) est une identité remarquable
x³-1=(x - 1)(x² + x + 1)
donc (∀x∈D): f(x)=x²+x+1.

Ainsi l'ensemble des fonctions primitives de f est l'ensemble des fonctions F définies par

F(x) =	1	x³ +	1	x² + x + k avec k∈IR
	3		2

2) Soit G une fonction primitive de f

donc G(x) =	1	x³ +	1	x² + x + k
	3		2

et G(3) =	- 1
	2

On détermine k

G(3) =	-1
	2

⇔	1	3³ +	1	3² + 3 + k	=	-1
	3		2			2

⇔ k = -17

ainsi G(x) =	1	x³ +	1	x² + x - 17
	3		2

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) =	1
	x²-4x+4

1) Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de f.
2) Déterminer G la fonction primitive de f qui s'annule en 2.

Correction

f est une fonction rationnelle donc elle est continue sur son domaine de définition D
D={x∈IR / x²-4x+4≠0}
x²-4x+4=0 ⇔ x²-2.2x+2²=0
⇔ (x-2)² = 0
⇔ x = 2
donc D=IR\{2}.
f admet donc des fonctions primitives
sur IR\{2}.

On remarque

f(x) =	1
	(x-2)²

uu encore

f(x) = - (	1	)'
	x-2

ainsi l'ensemble des fonctions primitive de f est l'ensemble des fonctions F définies par

F(x) =	- 1	+ k avec k∈IR
	x-1

2) Soit G une fonction primitive de f.

Donc G(x) =	- 1	+ k et G(2) = 0
	x-1

on détermine k

G(2) = 0 ⇔	- 1	+ k = 0
	2-1

⇔ k = 1

ainsi G(x) =	- 1	+ 1
	x-1