2.4 Ordre et Critères de convergence

2.4.1 Propriétés 1

1) Si (u_n) est une suite positive et admet une limite L alors cette limite est positive.
2) Si (u_n) est une suite négative et admet une limite L alors cette limite est négative.
3) Si (u_n) et (v_n) sont deux suites et L∈IR
de sorte que (∀n∈I): |u_n-L|≤v_n alors

lim +∞	(vn) = 0	⇒	lim +∞	(un) = L

2.4.2 Propriété 2

Si (u_n)_n∈I ; (v_n)_n∈I et (w_n)_n∈I sont des suites numériques
de sorte que (∀n∈I): v_n≤u_n≤w_n alors

lim +∞	(un) =	lim +∞	(vn) =	lim +∞	(wn)

(Théorème de gendarme).

2.4.3 Propriété 3

Si (u_n)_n∈I et (v_n)_n∈I sont deux suites numériques
de sorte que (∀n∈I): u_n ≤ v_n alors

lim +∞	(vn) = -∞	⇒	lim +∞	(un) = -∞

2.4.4 Propriété 4

Si (u_n)_n∈I et (v_n)_n∈I sont deux suites numériques
de sorte que (∀n∈I): u_n≥v_n alors

lim +∞	(vn) = +∞	⇒	lim +∞	(un) = +∞

Exercice 1 tp

Soit (u_n)_n∈IN* une suite numérique définie par

un =	sin(n)
	n

Calculer la limite suivante

lim + ∞

(un)

Correction

(∀x∈IR) on a -1≤sinx≤1
donc (∀n∈IN*) on a -1≤sin(n)≤1
n→+∞ ⇒ n≥0
donc

	sin(n)		≤	1
	n			n

	sin(n)		≤	1
	n			n

⇔

-1	≤	sin(n)	≤	1
n		n		n

On a

lim + ∞	1	= 0
	n

et	lim + ∞	- 1	= 0
		n

donc

lim + ∞	sin(n)	= 0
	n