Mathématiques du secondaire qualifiant

Suites numériques (7)

2.4 Ordre et Critères de convergence

2.4.1 Propriétés 1

1) Si (un) est une suite positive et admet une limite L alors cette limite est positive.
2) Si (un) est une suite négative et admet une limite L alors cette limite est négative.
3) Si (un) et (vn) sont deux suites et L∈IR
de sorte que (∀n∈I): |un-L|≤vn alors


lim
+∞
(vn) = 0
lim
+∞
(un) = L
2.4.2 Propriété 2

Si (un)n∈I ; (vn)n∈I et (wn)n∈I sont des suites numériques
de sorte que (∀n∈I): vn≤un≤wn alors


lim
+∞
(un) =
lim
+∞
(vn) =
lim
+∞
(wn)

(Théorème de gendarme).

2.4.3 Propriété 3

Si (un)n∈I et (vn)n∈I sont deux suites numériques
de sorte que (∀n∈I): un ≤ vn alors


lim
+∞
(vn) = -∞
lim
+∞
(un) = -∞
2.4.4 Propriété 4

Si (un)n∈I et (vn)n∈I sont deux suites numériques
de sorte que (∀n∈I): un≥vn alors


lim
+∞
(vn) = +∞
lim
+∞
(un) = +∞
Exercice 1 tp

Soit (un)n∈IN* une suite numérique définie par

un = sin(n)
n

Calculer la limite suivante


lim
+ ∞
(un)
Correction

(∀x∈IR) on a -1≤sinx≤1
donc (∀n∈IN*) on a -1≤sin(n)≤1
n→+∞ ⇒ n≥0
donc

sin(n)1
nn
sin(n) 1
nn

-1 sin(n)1
nnn

On a


lim
+ ∞
1 = 0
n
et
lim
+ ∞
- 1 = 0
n

donc


lim
+ ∞
sin(n) = 0
n