Mathématiques du secondaire qualifiant

Suites numériques (8)

Exercice 1 tp

Soit (un)n∈IN* une suite numérique définie par

un = -n+(-1)n
√(n)
Calculer
lim
+ ∞
(un)
Correction

(∀n∈IN): (-1)n≤1
ainsi -n+(-1)n≤-n + 1
puisque √(n)>0 car n∈IN* alors

-n + (-1)n -n + 1
√(n) √(n)

on a

- n + 1 = - √(n) + 1
√(n)√(n)

lim
+ ∞
1 = 0
√(n)

puisque


lim
+ ∞
- √(n) = -∞

alors


lim
+ ∞
(un) = -∞
Exercice 2 tp

Soit (un) une suite numérique définie par

un = 1
x+cos²n

Calculer


lim
+ ∞
(un)

Correction

(∀n∈IN): cos²n≥0 donc n+cos²n≥n.
Notons que si vn≤un≤ wn

et
lim
+∞
vn =
lim
+∞
wn

alors


lim
+∞
un =
lim
+∞
vn

Ou encore


lim
+∞
un =
lim
+∞
wn

d'une part

11
n+cos²nn

et d'autre part


lim
+ ∞
1 = 0
n

n→ +∞ donc n est strictement positif.
Puisque

1 > 0
n + cos²n

alors


lim
+ ∞
un = 0