2.5 Suites adjacentes

2.5.1 Définition

Soient (u_n)_n∈I et (v_n)_n∈I deux suites numériques
on dit que (u_n)_n∈I et (v_n)_n∈I sont adjacentes si les conditions suivantes sont vérifiées
1) (u_n)_n∈I est croissante.
2) (v_n)_n∈I est décroissante.

Exemple
Soit (u_n)_n∈IN* et (v_n)_n∈IN* deux suites définies par

1) La suite (u_n)_n∈IN* est croissante car ∀n∈IN*

puisque n∈IN* alors n+1>0 donc n(n+1)>0
ainsi u_n+1 - u_n > 0
2) La suite (v_n)_n∈IN* est décroissante car ∀n∈IN*

puisque n∈IN* alors n+1>0 et donc n(n+1)>0
-2<0 alors v_n+1-v_n<0

3) On pose w_n=u_n-v_n.

alors les suites (u_n)_n∈IN* et (v_n)_n∈IN* sont adjacentes.

2.5.2 Propriété

Toutes suites réelles adjacentes (u_n)_n∈I et (v_n)_n∈I sont convergentes et admettent la même limite L
et de plus (∀n∈I): u_n≤L≤v_n.

Démonstration
On utilise le Théorème Fondamental de la convergence d'une suite

Toute suite croissante et majorée est convergente.

Toute suite décroissante et minorée est convergente.
1) La suite (u_n)_n∈I est croissante donc il suffit de montrer qu'elle est majorée.

(∀ε>0)(∃N∈I)(∀n>N)⇒ |(u_n-v_n)|<ε
⇒ -ε + v_n<u_n<ε+v_{n
Puisque la suite (vn) est décroissante alors ∀n∈I={n∈IN/n≥p et p∈IN}: vn<vp.}

Donc (∀n∈I): u_n<ε+v_p
et donc ∃(M=ε+v_p)(∀n∈I): u_n<M et cela signifie que la suite (u_n) est majorée.
La suite (u_n) est donc croissante et majorée alors elle est convergente vers un nombre L.
2) La suite (v_n)_n∈I est décroissante donc il suffit de montrer qu'elle est minorée.
On a
(∀ε>0)(∃N∈I)(∀n>N)⇒|(v_n-u_n)|<ε
⇒ -ε+u_n<v_n<ε + u_n.

Puisque la suite (u_n) est croissante
alors ∀n∈I={n∈IN/n≥p et p∈IN}: u_n>u_p
donc (∀n∈I): v_n>u_p - ε
et donc ∃(M'=v_p - ε)(∀n∈I): u_n>M' et cela signifie que la suite (u_n) est minorée
alors la suite (v_n) est décroissante et minorée et donc convergente vers un nombre L'.
3) On montre que L=L' en utilisant les opérations sur les limites des suites convergentes.

ainsi L = L'

4) On montre que (∀n∈I): u_n≤L≤v_n.
(a) On montre d'abord u_n≤v_n.
On suppose par l'absurde que
(∃N∈I): u_N>v_N donc u_N - v_N>0.
On pose η = u_N - v_N>0
puisque (u_n) est croissante alors
(∀n ≥ N ): u_n≥u_N
et on a (v_n) est décroisante alors
(∀n ≥ N): v_n≤v_N

Ou encore -v_n≥-v_N
donc (∀n ≥ N): u_n - v_n ≥ u_N - v_N.
On a η>0 donc (∀n ≥ N): u_n-v_n≥η>0

⇔ (∀ε > 0) (∃N'∈I)(n > N'): |u_n-v_n| < ε

On obtient (∀n≥N): |u_n-v_n| ≥ η > ε et ce n'est pas possible
ainsi (∀n∈I): u_n ≤ v_n.

(b) La suite (u_n) est une suite croissante et majorée donc

ainsi (∀n∈I): u_n≤L.

La suite (v_n) est une suite décroissante et minorée donc

ainsi (∀n∈I): v_n ≥ L
finalement (∀n∈I): u_n≤L≤v_n.