Mathématiques du secondaire qualifiant

Suites numériques (9)

Exercice 1 tp

Soit (un)n≥0 une suite numérique définie par

{ (n∈IN): un+1 = 1(un+4)
2 un
u0=3

1) Montrer que ∀n∈IN; un > 0
2) (a) Montrer que

∀n∈IN; un+1 -2 = 1.(un-2)²
2 un

(b) Montrer que ∀n∈IN; un > 2
3) (a) Montrer que

∀n∈IN; un+1 -2 = 1(un-2)+2 -1
2 un
(b) Déduire que
∀n∈IN; un -2 < ( 1)n
2

4) Calculer


lim
+∞
(un)
Correction

1) On montre par récurrence la propriété
P1: ∀n∈IN; un > 0
pour n=0; la propriété P1 est vraie car u0=3>0
on suppose que la propriété P1 est vraie pour n
c'est à dire un> 0
et on montre qu'elle est vraie pour n+1
c'est à dire un+1> 0

On a

un > 0 et 4 > 0
un

Donc

1(un+4) > 0
2 un

ou encore un+1 > 0 donc la propriété P1 est vraie pour n+1
ainsi ∀n∈IN; un > 0

2) (a) On a

un+1-2 = 1(un+4) - 2
2 un
= 1(un+4 - 4)
2 un
= 1(un²-4un+4)
2 un
= 1.(un - 2)²
2 un
∀n∈IN; un+1 -2 = 1.(un-2)²
2 un

(b) On montre par récurrence la propriété
P2: (∀n∈IN): un > 2
pour n=0; la propriété P2 est vraie car u0=3 > 2
on suppose que la propriété P2 est vraie pour n
c'est à dire un> 2

Et on montre qu'elle est vraie pour n+1
c'est à dire un+1 > 2
On a un > 2 ⇔ un - 2 > 0
donc (un - 2)² > 0 et un > 0
ou encore

1.(un-2)² > 0
2 un

un+1 -2 > 0 donc la propriété P2 est vraie pour n+1
ainsi (∀n∈IN): un > 2

3) (a)

un+1-2 = 1(un+4) - 2
2 un
= 1(un+4 - 4)
2 un
= 1(un-2 + 4 - 2)
2 un

Donc ∀n∈IN

un+1-2 = 1(un - 2) + 2-1
2 un

(b) On a

un+1 -2 = 1(un-2)+2 -1
2 un
un > 2 ⇒ 0 < 2 < 1
un
⇒ -1 < 2 - 1 < 0
un
2 - 1 est négatif
un
donc (∀n∈IN): un+1 -2 < 1(un-2)
2
u1 -2 < 1(u0-2)
2
u2 -2 < 1(u1-2)
2
u3 -2 < 1(u2-2)
2
"" "" "" "" ""
un -2 < 1(un-1-2)
2

On fait la somme membre à membre des inégalités et après simplification on obtient

∀n∈IN; un -2 < ( 1)n
2

4) -1 < 0,5 < 1 donc (0,5)n→0 et on a

(∀n∈IN): 0 < un -2 < ( 1)n
2

D'après le Théorème de gendarme on obtient


lim
+∞
(un) = 0