1.3 الاشتقاق على اليمين والاشتقاق على اليسار

1.3-1 الاشتقاق على اليمين

تعريف

لتكن f دالة عددية معرفة على مجال من نوع [a;a+r[ حيث r>0
نقول ان f قابلة للاشتقاق في a على اليمين اذا وجد عدد حقيقي L بحيث

lim x→a+	f(x)-f(a)		=L
	x-a

L يسمى العدد المشتق ل f في a على اليمين ونرمز له ب f'_d(a) ونكتب

f'd(a)=	lim x→a+	f(x)-f(a)
		x-a

مثال

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي f(x)=√(x) ادرس قابلية الاشتقاق للدالة f في 0 على اليمين

تصحيح

lim x→0+	f(x)-f(0)	=	lim x→0+	√(x)
	x			x
lim x→0+	1	=+∞
	√(x)

f غير قابلة للاشتقاق في 0⁺

1.3.2 الاشتقاق على اليسار

تعريف

لتكن f دالة عددية معرفة على مجال من نوع ]a-r;a] حيث r>0
f قابلة للاشتقاق في a على اليسار اذا وجد عدد حقيقي L بحيث

lim x→a-	f(x)-f(a)		=L
	x-a

L يسمى العدد المشتق للدالة f في a على اليسار ونرمز له ب f'_g(a)

ونكتب

f'g(a)=	lim x→a-	f(x)-f(a)
		x-a

خاصية

f قابلة للاشتقاق في a يكافئ f قابلة للاشتقاق في a على اليمين وعلى اليسار و f'_d(a)=f'_g(a)

1.3.3 التأويل الهندسي

1) f قابلة للاشتقاق في a على اليمين يعني ان منحنى الدالة f يقبل نصف مماس عند النقطة A(a,f(a)) ومعامله الموجه f'_d(a)
و f قابلة للاشتقاق في a يعني ان (C) يقبل نصف مماس عند A(a,f(a)) ومعامله الموجه f'_g(a).
2) اذا كانت f غير قابلة للاشتقاق على اليمين ( او على اليسار) في a و

lim x→a±	f(x)-f(a)		=±∞
	x-a

فان المنحنى (C) نصف مماس عمودي في A(a;f(a)).

مثال

منحنى الدالة x→√(x) يقبل نصف مماس عمودي في النقطة O

تمرين

نعتبر الدالة f x→f(x)=|x²-25| ادرس قابلية الاشتقاق للدالة f في النقطة 5

تصحيح

لدينا f(x)=|x-5|.|x+5| و f(5)=0
1) ندرس قابلية الاشتقاق في 5 على اليمين
ليكن x∈[5;5+r[ حيث r>0 اذن x≥5 و |x²-25|=(x-5)(x+5).

lim 5+	f(x)-f(5)	=	lim 5+	x²-25
	x-5			x-5

=lim₅₊x+5=5+5=10
اذن
f'_d(5)=10.
2) ندرس قابلية الاشتقاق في 5 على اليسار
ليكن x∈]5-r;5] حيث r>0 بقيمة صغيرة اذن x≤5 و

lim 5-	f(x)-f(5)	=	lim 5-	-(x²-25)
	x-5			x-5

=lim_5--x-5=-10
ومنه فان f'_g(5)=-10 اذن f'_g(5)≠f'_d(5) وبالتالي f ليست قابلة للاشتقاق في 0
مع ان f قابلة للاشتقاق في 0 على اليمين وعلى اليسار 0
في هده الحالة نقول ان المنحنى (C) يقبل نصفي مماس عند A(5;0) ونقول ايضا ان المنحنى يقبل نقطة مزواة عند A

1.3 الاشتقاق على مجال , العمليات على الاشتقاق

1.3.1 خاصية وتعريف

لتكن f دالة عددية معرفة على مجال I
f قابلة للاشتقاق على المجال I اذا كانت قابلة للاشتقاق في كل نقطة من المجال I والدالة المشتقة للدالة f على المجال I نرمز لها ب f' هي دالة تربط كل عنصر x من I بالعدد المشتق f'(x) .

ملاحظة

مشتقة الدالة f تسمى ايضا الدالة المشتقة الاولى للدالة f ونرمز لها ب f'

تمرين 1

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي f(x)=x²+x
ادرس قابلية الاشتقاق للدالة f على IR ثم حدد f'(x)

تصحيح

ليكن a عنصرا من IR
لدينا f(a)=a²+a

lim a	f(x)-f(a)	=	lim a	x²+x-(a²+a)
	x-a			x-a
=lim a	(x²-a²)+(x-a)	=	lim a	(x-a)(x+a+1)
	x-a			x-a

=lim_a(x+a+1)=2a+1∈IR
اذن f قابلة للاشتقاق على IR وبما ان a هو اي عنصر من IR فان الدالة المشتقة ل f هي f' معرفة على IR بما يلي f'(x)=2x+1.

تمرين 2

ادرس قابلية الاشتقاق للدالة f حيث f(x)=x³

تمرين 3

ادرس قابلية الاشتقاق للدالة f حيث f(x)=sinx

1.5 المشتقة الثانية والمشتقات المتتالية

1.5.1 المشتقة الثانية

لتكن f دالة قابلة للاشتقاق على I اذا كانت الدالة المشتقة الاولى f' بدورها قابلة للاشتقاق على I فان الدالة المشتقة للدالة f' تسمى الدالة المشتقة الثانية للدالة f ونرمز لها ب f" ومعرفة كالتالي
∀x∈I : f"(x)=(f')'(x)

1.5.2 المشتقات المتتالية

اذا كانت الدالة المشتقة الثانية f" للدالة f بدورها قابلة للاشتقاق على مجال I فان الدالة المشتقة للدالة f" تسمى المشتقة الثالثة او المشتقة من الرتبة 3 ونرمز لها ب f⁽³⁾ او f'''
وهكذا نرمز للمشتقة من الرتبة n ب f⁽ⁿ⁾

تمرين

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي

	f(x)=x³-1; x≤2
	f(x)= x²+3 ; x>2

ادرس قابلية الاشتقاق للدالة f في 2

تصحيح

لا يمكن تعويض 2 في الصيغة f(x)=x²+3
لان هذ الصيغة خاصة بالاعداد اكبر قطعا من 2 اذن f(2)=2³-1=7

lim 2+	f(x)-f(2)	=	lim 2+	x²+3-7
	x-2			x-2
=	lim 2+	x²-4	=lim2+(x+2)	=4
		x-2

f قابلة للاشتقاق في 2 ولدينا f'_d(2)=4

lim 2-	f(x)-f(2)	=	lim 2-	x³-1-7
	x-2			x-2

=lim 2-	x³-2³	=	lim 2-	(x²+2x+4)=12
	x-2

f قابلة للاشتقاق في 2⁺
وبما ان f'_g(2)≠f'_d(2) فان f غير قابلة للاشتقاق في 2