Mathématiques du secondaire qualifiant

Dérivation (5)

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) = x³-3x si x≤1
f(x) = x²-3 si x>1

1) Montrer qaue f n'est pas dérivable au point 1
et déterminer les équations des demi-tangentes au points A(1;f(1)).
2) Déterminer l'équation de la tangente au point B(-1;f(-1)).

Correction

On ne peut pas remplacer 1 dans l'expression f(x)=x²+3
car cette expression est valable pour les nombres supérieurs stricts à 1.
On a donc f(1)=1³-3.1=-2.


lim
1+
f(x)-f(1) =
lim
1+
x²-3+2
x-1x-1
=
lim
1+
x²-1
lim
1+
(x+1) =2
x-1

f est dérivable à droite à 1 et f'd(1)=2
ainsi (C) admet une demi-tangente à droite au point A(1;-2)
d'équation y=2(x-1)-2 ou encore y=2x-4.


lim
1-
f(x)-f(1) =
lim
1-
x³-3x+2
x-1x-1

on pose p(x)= x³-3x+2
p(1)=1-3+2=0 donc le polynôme p(x) est divisble par x-1 ou encore il existe un polynôme q(x) de degré 2 tel que p(x)=(x-1)q(x)

+0x² -3x +2 x-1
-x³ +x² x²+x-2
0 +x² -3x +2
-x² +x
0 -2x +2
+2x -2
0 0

donc q(x)=x²+x-2
ainsi x³-3x+2 = (x-1)(x²+x-2).


lim
1-
f(x)-f(1) =
lim
1-
(x-1)(x²+x-2)
x-1 x-1
=
lim
1-
x²+x-2 = 0

donc f est dérivable à gauche à 1 et f'g(1)=0
ainsi (C) admet une demi-tangente à gauche à 1
d'équation y= 0(x-1)-2
ou encore y=-2 et cette demi-tangente est parallèle à l'axe des abscisses.

On a f'g(1)≠f'd(1) donc f n'est pas dérivable en 1.
2) Equation de la tangente au point B(-1;f(-1))
on étudie la dérivabilité de f au point -1
-1 < 1 donc on s'intéresse à l'expression
f(x)=x³-3x donc f(-1)=-1+3=2.


lim
-1
f(x)-f(-1) =
lim
-1
x³-3x-2
x+1 x+1

on considère le polynôme h(x)=x³-3x-2.
h(-1)=0 donc h(x) est divisible par x+1.

+0x² -3x -2 x+1
-x³ -x² x²-x-2
0 -x² -3x -2
+x² +x
0 -2x -2
+2x +2
0 0

lim
-1
f(x)-f(-1) =
lim
-1
x²-x-2 = 0 = f'(-1)
x+1

f'(-1)=0 signifie que (C) admet une tangente horizontale d'équation y=f(-1)=2.