Dérivation (10)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = x+1+ | 1 |
| x |
1) Calculer les limites suivantes
lim -∞ |
f(x) | lim +∞ |
f(x) | |
lim 0- |
f(x) | lim 0+ |
f(x) |
2) Etudier les variations de f.
Correction
1) D={x∈IR / x≠0} =]-∞;0[∪]0;+∞[.
lim -∞ |
f(x) = | lim -∞ |
x+1+ | 1 |
| x | ||||
| = | lim -∞ |
x+1+ | lim -∞ |
1 |
| x |
On a
lim -∞ |
x-1 = -∞ | lim -∞ |
1 | = 0 |
| x |
Donc
lim -∞ |
f(x) = -∞ |
lim +∞ |
f(x) | = | lim +∞ |
x+1+ | lim +∞ |
1 |
| x |
on a
lim +∞ |
x-1 = -∞ | lim +∞ |
1 | = 0 |
| x |
Donc
lim +∞ |
f(x) = +∞ |
lim 0- |
f(x) = | lim 0- |
x+1+ | 1 |
| x | ||||
| = | lim 0- |
x+1+ | lim 0- |
1 |
| x |
On a
lim 0- |
x-1 = -1 | lim 0- |
1 | = -∞ |
| x |
Donc
lim 0- |
f(x) = -∞ |
lim 0+ |
f(x) = | lim 0+ |
x+1+ | 1 |
| x | ||||
| = | lim 0+ |
x+1+ | lim 0+ |
1 |
| x |
On a
lim 0+ |
x-1 = -1 | et | lim 0+ |
1 | = +∞ | |
| x |
donc
lim 0+ |
f(x) = +∞ |
2) f est une somme d'une fonction polynôme et une fonction rationnelle donc dérivable sur D. Soit x∈D
| f '(x)=(x+1)'+( | 1 | )' | = 1 - | 1 | = | x²-1 | |
| x | x² | x² |
f' est de signe du trinôme x²-1.
f'(x)=0⇔x²-1=0
⇔ x=1 ou x=-1
a=1>0 et d'après la propriété du signe d'un trinôme on déduit que f est strictement croissante sur
]-∞;-1] et sur [1;+∞[ et strictement décroissante sur [-1;0[ et ]0;1].
| x | -∞ | -1 | 0 | 1 | +∞ | |||||
| f '(x) | + | 0 | - | - | 0 | + | ||||
| f | -∞ |
↗ |
-1 | ↘ |
-∞ |
+∞ | ↘ |
3 |
↗ |
+∞ |
Exercice 2 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = 2x+5+ | 2 |
| x-1 |
1) Calculer les limites suivantes
lim -∞ |
f(x) | lim +∞ |
f(x) | |
lim 1- |
f(x) | lim 1+ |
f(x) |
2) Etudier les variations de f.