Espace analytique (5)
3- Equations paramétriques d’une droite et d'un plan
3.1 Equations paramétriques d’une droite
3.1.1 Propriété et définition
L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→;k→). La droite (D) passant par un point A(xA;yA;zA) et de vecteur directeur u→(a;b;c) est l'ensemble
{M(x;y;z)∈𝔼 / AM→=tu→ avec t∈IR}.
| M(x;y;z)∈(D) ⇔ { | x = xA + ta | t∈IR |
| y = yA + tb | ||
| z = zA + tc |
Ce système d'équations est appelé une Représentation paramétrique de la droite (D) de paramétre t ou équations paramétriques de (D).
3.1.2 Exemple
Soient D(A;u→) une droite tels que A(-1;5;3) et u→(4;7;10).
M(x;y;z)∈(D) ⇔ (∃t∈IR): AM→=tu→.
| ⇔ { | x = -1 + 4t | (t∈IR) |
| y = 5 + 7t | ||
| z = 3 + 10t |
Ce système d'équations est appelé une Représentation paramétrique de la droite (D) de paramétre t.
Exercice 1 tp
Soit D(A;u→) une droite définie par une représentation paramétrique suivante
| { | x = -1 + 4t | (t∈IR) |
| y = 5 + 7t | ||
| z = 3 + 10t |
1) Vérifier que le point A(3;12;13) est un point de la droite (D).
2) Déterminer une vecteur directeur de la droite (D).
3.2 Equations paramétriques d’un plan
3.2.1 Propriété et définition
L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→;k→). Le plan ℙ passant par un point A(xA;yA;zA) et orienté par deux vecteurs non colinéaires u→(a;b;c) et v→(a';b';c') est l'ensemble
{M(x;y;z)∈𝔼 / AM→=ku→+tv→ avec k;t∈IR}.
| M(x;y;z)∈ℙ ⇔ { | x = xA + ka + ta' | (k; t∈IR) |
|---|---|---|
| y = yA + kb + tb' | ||
| z = zA + kc + tc' |
Ce système d'équations est appelé une représentation paramétrique du plan ℙ de deux paramétres k et t (ou équations paramétriques du plan ℙ).
3.2.2 Exemple
Soit ℙ est un plan passant par un point A(1;2;3) et orienté par u→(4;-1;5) et v→(0;7;-2).
1) Déterminer les équations paramétrique du plan ℙ.
2) Le point B(-3;10;-4) appartient il au plan ℙ ?
Correction
1) M(x;y;z)∈ℙ ⇔ (∃k;t∈IR): AM→=ku→+tv→
| ⇔ (S) { | x = 1+4k | (k; t∈IR) |
| y = 2-k+7t | ||
| z = 3+5k-2t |
Ce système est une représentation paramétrique du plan ℙ.
2) On étudie si le triplet (-3;10;-4) vérifie le système (S)
c'est à dire si (∃k;t∈IR): OB→=ku→+tv→.
Pour cela on pose x=-3 ; y=10 et z=-4.
| { | -3 = 1+4k | ⇔ | { | 4k = -4 |
| 10 = 2-k+7t | -k+7t=8 | |||
| -4 = 3+5k-2t | 5k-2t=-7 |
(1) 4k=-4⇔k=-1
(2) -(-1)+7t=8⇔t=1
(3) 5.(-1)-2.1=-5-2=-7,
donc (∃k=-1;t=1): OB→=-u→+v→ ainsi B∈ℙ.