4- Equation cartésienne d’un plan - Equations cartésiennes d'une droite

4.1 Equation cartésienne d’un plan

4.1.1 Définition et propriété

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→). Le plan ℙ passant par un point A et orienté par deux vecteurs u^→ et v^→ est l'ensemble des points M de l'espace 𝔼 tels que AM^→ ; u^→ et v^→ sont coplanaires.

M∈ℙ ⇔ det(AM^→;u^→;v^→)=0.

4.1.2 Théorème

L'équation cartésienne d'un plan s'écrit sous la forme
ax+by+cz+d=0 avec (a;b;c)≠(0;0;0).

Exemple
Soit ℙ un plan passant par A(1;2;2) et orienté par u^→(1;4;1) et v^→(1;0;2)
Vérifier que ℙ existe et déterminer son équation cartésienne.

Correction
1) Supposons u^→ et v^→ sont colinéaires.
(∃k∈IR): v^→=ku^→ donc 1=k ; 0=4k et 2=2k et donc k=0 et k=1 ce n'est pas possible ainsi u^→ et v^→ ne sont pas colinéaires alors ℙ existe.

⇔(x-1)(8-0)-(y-2)(2-1)+(z-2)(0-4)=0
ainsi 8x-y-4z+2=0 est une équation cartésienne du plan ℙ.

4.2 Equations cartésiennes d’une droite

4.2.1 Définition et Propriété

Soit (D) une droite passant par A(x_A;y_A;z_A) et u^→(a;b;c) son vecteur directeur
Si abc≠0 alors (D est définie par les équations déduites de sa représentation paramétrique.

appelées équations cartésiennes de (D).

4.2.2 Exemple

Soit D(A,u^→) une droite tels que A(2;4;1) et u^→(5;7;10).
Déterminer les équations cartésienne de la droite (D).

Correction

M(x ; y ; z)∈(D) ⇔

Exercice 1 tp

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→). Soit (D) une droite définie par des équations cartésienne suivante

Déterminer un point et un vecteur directeur de la droite (D) et déduire une représentation paramétrique de la droite (D).

Correction

donc A(-1;2;1) est un point de la droite (D)
et u^→(2;4;-2) est un vecteur directeur de la droite (D)
donc (D)=D(A;u^→).

M(x;y;z)∈(D) ⇔ (∃t∈IR): AM = tu

Ce système d'équations est une représentation paramétrique de la droite (D).