Mathématiques du secondaire qualifiant

Espace analytique (6)

4- Equation cartésienne d’un plan - Equations cartésiennes d'une droite

4.1 Equation cartésienne d’un plan

4.1.1 Définition et propriété

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i;j;k). Le plan ℙ passant par un point A et orienté par deux vecteurs u et v est l'ensemble des points M de l'espace 𝔼 tels que AM ; u et v sont coplanaires.

M∈ℙ ⇔ det(AM;u;v)=0.

4.1.2 Théorème

L'équation cartésienne d'un plan s'écrit sous la forme
ax+by+cz+d=0 avec (a;b;c)≠(0;0;0).

Exemple
Soit ℙ un plan passant par A(1;2;2) et orienté par u(1;4;1) et v(1;0;2)
Vérifier que ℙ existe et déterminer son équation cartésienne.

Correction
1) Supposons u et v sont colinéaires.
(∃k∈IR): v=ku donc 1=k ; 0=4k et 2=2k et donc k=0 et k=1 ce n'est pas possible ainsi u et v ne sont pas colinéaires alors ℙ existe.

M(x;y;z)∈ℙ⇔x-111 = 0
y-240
z-212

⇔(x-1)(8-0)-(y-2)(2-1)+(z-2)(0-4)=0
ainsi 8x-y-4z+2=0 est une équation cartésienne du plan ℙ.

4.2 Equations cartésiennes d’une droite

4.2.1 Définition et Propriété

Soit (D) une droite passant par A(xA;yA;zA) et u(a;b;c) son vecteur directeur
Si abc≠0 alors (D est définie par les équations déduites de sa représentation paramétrique.

x-xA=y-yA=z-zA
abc

appelées équations cartésiennes de (D).

4.2.2 Exemple

Soit D(A,u) une droite tels que A(2;4;1) et u(5;7;10).
Déterminer les équations cartésienne de la droite (D).

Correction

M(x ; y ; z)∈(D) ⇔

x-2=y-4=z-1
5710
Exercice 1 tp

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i;j;k). Soit (D) une droite définie par des équations cartésienne suivante

x+1=y-2=1-z
242

Déterminer un point et un vecteur directeur de la droite (D) et déduire une représentation paramétrique de la droite (D).

Correction
x+1=y-2=1-z
242
x+1=y-2=z-1
24- 2

donc A(-1;2;1) est un point de la droite (D)
et u(2;4;-2) est un vecteur directeur de la droite (D)
donc (D)=D(A;u).

M(x;y;z)∈(D) ⇔ (∃t∈IR): AM = tu

⇔ { x = -1 + 2t (t∈IR)
y = 2 + 4t
z = 1 - 2t

Ce système d'équations est une représentation paramétrique de la droite (D).