دراسة دوال عددية (6)
تمرين 12 tp
نعتبر الدالة f المعرفة ب
f(x)= | x |
√(|x+1|) |
2) احسب f'(x) ثم ادرس اشارتها على مجموعة تعريفها وانشئ جدول تغيراتها
3) انشئ منحنى الدالة f في معلم متعامد ممنظم
4) حل مبيانيا وحسب قيم العدد m المعادلة f(x)=m
تصحيح
1) D={x∈IR/ |x+1|> 0}
={x∈IR/ x+1≠0}
=]-∞;-1[∪]-1;+∞[
اولا نكتب f(x) بدون استعمال القيمة المطلقة
{ | f(x)= | x | ; x< -1 |
√(-x-1) | |||
f(x)= | x | ; x> -1 | |
√(x+1) |
lim -∞ | x | = | lim -∞ | x√(-x-1) |
√(-x-1) | -x-1 | |||
= | lim -∞ | x | lim -∞ | √(-x-1) |
-x-1 | ||||
= | lim -∞ | x | lim -∞ | √(-x-1) |
-x |
lim -∞ | f(x)= | =-1.(+∞)= - ∞ |
lim +∞ | x | = | lim +∞ | x√(x+1) |
√(x+1) | x+1 |
= | lim +∞ | x | lim +∞ | √(x+1) |
x+1 |
= | lim +∞ | x | lim +∞ | √(x+1) |
x |
lim +∞ | f(x)= | =1.(+∞)= + ∞ |
lim -1 | x | = | -1 | - ∞ |
√(|x+1|) | 0+ |
lim -1 | f(x)= | = - ∞ اذن |
ملاحظة: يمكن تحديد نهاية f عند -1+ وعند -1-
lim -∞ | f(x)= - ∞ لدينا |
lim -∞ |
f(x) | = | lim -∞ |
x |
x | x√(-x-1) | |||
= | lim -∞ |
1 | = | 0 |
√(-x-1) |
lim +∞ | f(x)= + ∞ لدينا |
lim +∞ |
f(x) | = | lim +∞ |
x |
x | x√(x+1) | |||
= | lim +∞ |
1 | = | 0 |
√(x+1) |
وهذا يعني ان منحنى الدالة f يقبل
فرعا شلجميا في اتجاه محور الافاصيل بجوار + ∞
2) ندرس رتابة الدالة f على المجال ]-∞;-1[
f(x)= | x | ; x< -1 |
√(-x-1) |
f '(x)= | √(-x-1) - x(√(-x-1))' |
(√(-x-1))² | |
= | 2(√(-x-1))² + x |
2(-x-1)√(-x-1) |
اذن
f '(x) = | -x-2 |
2(-x-1)√(-x-1) |
f'(x)=0⇔ -x-2=0⇔x=-2
f تزايدية قطعا على ]-∞;-2] وتناقصية قطعا على [-2;-1[
ندرس رتابة الدالة f على المجال ]-1;+∞[
f(x)= | x | ; x> -1 |
√(x+1) |
f '(x)= | √(x+1) - x(√(x+1))' |
(√(x+1))² |
= | 2(√(x+1))² - x |
2(x+1)√(x+1) | |
= | x+2 |
2(x+1)√(x+1) |
f'(x)=0⇔ x+2=0⇔x=-2
-2∉I2 و x+2>0 وبالتالي f تزايدية قطعا على ]-1;+∞[
x | -∞ | -2 | -1 | +∞ | |||||
f'(x) | + | 0 | - | + | |||||
f | -∞ |
↗ |
-2 | ↘ |
-∞ |
-∞ |
↗ |
+∞ |
3) المنحنى
4) نحل مبيانيا وحسب قيم العدد m المعادلة (E): f(x)=m
لذلك نعتبر المستقيم المتغير والموازية لمحور الاراتيب ونرمز له ب (Dm)
اذا كان m<-2 فان (Dm) يقطع المنحنى في ثلاث نقط ومنه فان المعادلة (E) تقبل ثلاث حلول
اذا كان m=-2 فان (Dm) يقطع المنحنى في نقطتين ومنه فان المعادلة (E) تقبل حلين
اذا كان m>-2 فان (Dm) يقطع المنحنى في نقط واحدة ومنه فان المعادلة (E) تقبل حلا واحدا