Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par f(x)=√(x+1)-√(x).
1) Déterminer D ensemble de définition de f.
2) (a) Montrer que f est minorée sur D.
(b) Montrer que f admet une valeur minimale en 0 sur D.

Correction

1) D={x∈IR / x+1≥0 ∧ x≥0}
={x∈IR / x≥-1 ∧ x≥0}
-∞ --- (-1) --- 0 --- +∞
D=[0;+∞[.

2) (a) ∀x∈D: x+1> x.
√ est strictement croissante sur IR⁺
donc √(x+1)>√(x) ⇒ √(x+1)-√(x)>0
⇒ ∀x∈D: f(x)>0
et cele signifie que f est minorée par 0.
(b) On montre que f(0)=1 est une valeur maximale de f en 0.
f(x)-f(0)= √(x+1)-√(x) -1

x≥0 ⇒√(x+1)+√(x)≥1

⇒ f(x)≤f(0) et cele signifie que f(0) une valeur maximale de f.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par f(x)=√(x²+1).
1) Etudier la parité de f.
2) Etudier les variations de f sur IR+ et déduire ses variations sur IR^-.

Correction

1) On a D=IR car (∀x∈IR): x²+1≥0
donc (∀x∈IR) on a (-x)∈IR
f(-x)=√((-x)²+1)=√(x²+1)=f(x)
et cela signifie que f est paire.

2) On remarque que f est une composée de r=√ et p:x→x²+1 (f=rop)
Dr=IR⁺ ; Dp=IR et p(IR)⊂IR⁺
car (∀x∈IR): p(x)>0.
La fonction p est strictement croissante sur IR⁺ et la fonction √ est strictement croissante sur IR⁺ et donc f est strictement croissante sur IR⁺.
Puisque f est paire et strictement croissante sur IR ⁺ alors elle est strictement décroissante sur IR^-.

Exercice 3 tp

Soit f une fonction numérique définie par f(x)=x²-4x+4.
1) Tracer le tableau de variations de f.
2) Soit g une fonction numérique définie par
g(x)= √(x²-4x+5).
(a) Montrer que g est la composée de f et d'une fonction h qui doit être déterminée
(b) Déterminer les variations de g.

Correction

1) f est une fonction de référence
-b÷(2a)=2 et a=1>0
donc f est strictement croissante sur
[2;+∞[ et strictement décroissante sur
]-∞;2].

2) (a) g(x)=√(x²-4x+5)
On remarque x²-4x+5=(x-2)²+1> 0 donc Dg=IR.
g(x)=√(x²-4x+4+1)
ou encore g(x)=√(f(x)+1)
on considère la fonction p définie par p(x)=x+1.
p(f(x))=f(x)+1
donc g(x)=√(p(f(x)))=(√op)of(x)
on pose √op=h ainsi g=hof est définie sur IR.