Limite d'une fonction (11)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction définie par
| f(x) = | √(x²-4) |
| x+2 |
1) Déterminer D le domaine de définition de f.
2) Calculer les limites de f aux bords de D.
Correction
1) D={x∈IR / (x²-4≥0) ∧ (x+2≠0)}
= ]-∞;-2[∪[2;+∞[.
2) limite en +∞
x→+∞ ⇒ x>0
donc x+2>0 ainsi
x+2=√(x+2)².
| f(x) = | √(x²-4) | = √( | x²-4 | ) |
| √(x+2)² | (x+2)² |
donc
| f(x) = √( | x-2 | ) |
| x+2 |
lim +∞ |
x-2 | = | lim +∞ |
x | =1 |
| x+2 | x |
| ⇒ | lim +∞ |
f(x) = | √(1)=1 |
limite de f en -∞
(x→- ∞) ⇒ x<-10000...
donc x+2<0 ainsi
x+2=- √(x+2)².
| f(x) = | -√(x²-4) | = - √( | x²-4 | ) |
| √(x+2)² | (x+2)² |
donc
| f(x) =- √( | x-2 | ) |
| x+2 |
lim -∞ |
x-2 | = | lim -∞ |
x | = | 1 |
| x+2 | x | |||||
| ⇒ | lim -∞ |
f(x) | = | - √(1) | = | -1 |
donc
lim -∞ |
f(x) = | -1 |
Exercice 2 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = √(x+1)+ | 1 |
| √(x+1) |
Calculer les limites de f aux bords de son domaine de définition.
Correction
D={x∈IR/x+1≥0 ∧ √(x+1)≠0}
=]-1;+∞[.
Limite en +∞
lim +∞ |
x+1 = +∞⇒ | lim +∞ |
√(x+1) = +∞ |
on a
lim +∞ |
√(x-1) | = +∞ | |
| ⇒ | lim +∞ |
1 | = 0 |
| √(x-1) |
Donc
lim +∞ |
f(x) | = +∞ |
Limite de f en -1+
x>-1 ⇒ x+1>0.
| x | -∞ | -1 | +∞ | |||
| x+1 | - | 0 | + |
On a
lim (-1)+ |
1 | = +∞ |
| x+1 |
donc
lim (-1)+ |
1 | = +∞ |
| √(x+1) |
0 + (+∞) = +∞ et donc
lim (-1)+ |
f(x) = +∞ |