Exercice 1 tp

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ un cercle (C) de centre G(2;-1) et de rayon √(2).
Soit E(5;0) un point du plan.
1) (a) Déterminer une équation du cercle (C).
(b) Vérifier que E est à l'extérieur du cercle (C).
2) Tracer le cercle (C).
3) Déterminer les deux tagentes à (C) passant par E.

Correction

1) (a) M(x;y)∈(C) ⇔ GM=√(2)
⇔ (x-2)²+(y+1)²=2
⇔ x²+y²-4x+2y+3=0
(C): x²+y²-4x+2y+3=0.
(b) E(5;0)∈ext(C) car 5²-20+3=8>0.

2)

3) On désigne par (T₁) l'une des tangentes au point A(x;y)
on a (GA)⊥(T₁) donc
EA^→.GA^→=0
⇔ (x-2)(x-5)+(y+1)y=0
⇔ x²+y²-7x+y+10=0 (1)
et cela signifie que A appartient au cercle (C) et au cercle (C2) de centre I(3,5 ; -0,5).

Donc le couple des coordonnées de A vérifie le système suivant

on fait l'opération (1)-(2) on obtient donc l'équation 3x+y-7=0.
3x+y-7=0 ⇔ y=-3x+7 (3) on remplace la valeur de y dans (1) ou (2)
on obtient x²+(-3x+7)²-4x+2(-3x+7)+3=0
ou encore 5x²-26x+33=0.

On résout l'équation
Δ=16 >0

(a) x=3 ⇒ y=-9+7=-2
(T1) est tangente à (C₁) au point A(3 ; -2).
On détermine (T₁)=(EA)
M(x;y)∈(T₁) ⇔ det(EM^→;EA^→)=0

⇔ (x-5).(-2)-(y-0).(-2)=0
⇔ -2x+2y+10=0
ainsi (T₁): x-y-5=0.
(b) On a

(T₂) est tangente à (C₁) au point B

De la même façon on détermine l'équation de (T₂)=(EB)
M(x;y)∈(T₁)⇔ det(EM^→;EB^→)=0

ainsi (T₂): x+7y-5=0.