Exercice 1 tp

Soit (u_n) une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u₀=7.
Calculer u₅.

Correction

(u_n) est une suite géométrique
donc u_n=u₀qⁿ et donc u₅=7.2⁵=224
ainsi u₅=224.

Exercice 2 tp

Soit (u_n)_n≥1 une suite géométrique de raison q postive.
Sachant que u₃=75 et u₅= 1875.
1) Calculer q.
2) Calculer le premier terme u₁.

Correction

1) (u_n)_n≥1 une suite géométrique de raison q
donc u_n= u_pq^n-p avec 1≤p<n.

Et donc u₅= u₃q^5-3
ou encore 1875 = 75q²
ou encore q² = 25
puisque q>0 alors q=5.
2) On a u₃ = u₁q²
ou encore 75 = 25 u₁
donc u₁ = 3.

5.3 Somme de n premiers termes d'une suite géométrique

5.3.1 Introduction

Soit (u_n)_n≥0 une suite géométrique de raison q et S=u₀+u₁+...+u_n-1.
Notons que le 1er indice est 0 et donc le dernier indice doit être n-1 pour avoir n terrmes.
Si q=1 alors S=nu₀.
Si q≠1 alors S=u₀+u₀q+..+u₀q^n-1.

Ou encore
S = u₀(1+q+q²+..+q^n-1)
On montre par récurrence la propriété suivante
p(n): (∀n∈IN*\{1})

Si n=2 alors A=1+q

donc p(n) est vraie pour n=2.

On suppose que p(n) est vraie pour n
et on montre qu'elle est vraie pour n+1.
1+q+q²+..+q^n-1 + qⁿ = A + qⁿ

A + qn =	1-qn	+ qn
	1-q
=	1-qn + (1-q)qn
	1-q
=	1-qn + qn - qn+1
	1-q
=	1 - qn+1
	1-q

Donc p(n) est vraie pour n+1.
ainsi (∀ (n∈IN*\{1}))

on a S= u₀(1+q+q²+..+q^n-1)

(n-1)-0+1=n est le nombre de termes de la somme S.

5.3.2 Propriété

Soit (u_n)_n≥p une suite géométrique de raison q≠1.

n-p+1 est le nombre de termes de la somme.