5- Suites géométriques

5.1 Activité et définition

5.1.1 Activité

Exemple

Les nombres 2 ; 10 ; 50 ; .. sont des termes d'une suite récurrente où chaque terme est égal au terme précédent multiplié par 5.

On dit que ce sont des termes d'une suite géométrique de raison 5.

5.1.2 Définition

Soit (u_n)_n∈I une suite numérique
(u_n)_n∈I est une suite géométrique de raison q si elle s'écrit sous la forme u_n+1=qu_n et son premier terme est un nombre réel a.

Exercice 1 tp

Calculer le deuxième ; le troisième et le cinquième terme d'une suite géométrique de raison 3 et de premier terme 1.

Correction

On désigne par (u_n)_n≥0 à cette suite.
1) Deuxième terme
la suite est définie pour n≥0 alors le premier terme u₀=1.
(u_n)_n≥0 est une suite géométrique donc u_n+1=qu_n.

Et donc le deuxième terme u₁=qu₀
ou encore u₁=3.1 ainsi u₁=3.
2) Troisième terme u₂
u₂=qu₁=3.3 ainsi u₂=9.
3) Cinquième terme u₄
on a u₄=qu₃
on calcule donc u₃
u₃=qu₂=3.9=27
donc u₄=3.27 ainsi u₄=81.

Exercice 2

Calculer la raison d'une suite géométrique son premier terme 4 et de deuxième terme 20.

Correction

On désigne par (u_n)_n≥1 à cette suite
donc u₁=4 et u₂=20.
(u_n)_n≥1 est une suite géométrique
donc u_n=qu_n-1 et donc u₂=qu₁
ou encore 20=4q donc q=5.

5.2 Terme général d'une suite géométrique

5.2.1 Introduction

Soit (u_n)_n≥0 une suite géométrique de raison q et de premier terme u₀.
On a donc u_n+1 =qu_n ainsi

On fait le produit des égalités membre à membre et après simplification
on obtient u_n=u₀qⁿ.

5.2.2 Propriété

Soit (u_n) une suite géométrique, u₀ son premier terme et q sa raison.
Le terme général de la suite (u_n) est définie par
u_n=u₀qⁿ.

Remarque
Si u₁ est le premier terme alors u_n=u₁q^n-1.

5.2.3 Propriété

Soit (u_n)_n≥p une suite géométrique de raison q
u_n = u_pq^n-p.