Trigonométrie (3)
2- L’expression acosx+bsinx
2.1 Introduction et propriété
2.1.1 Introduction
1) Vérifier que (∀a;b∈IR)
| ( | a | )²+( | b | )² = 1 | √(a²+b²) | √(a²+b²) |
| { | -1≤ | a | ≤ 1 | |
| √(a²+b²) | ||||
| -1≤ | b | ≤ 1 | ||
| √(a²+b²) |
2) (∀x∈IR) on a cos²x+sin²x=1 il existe donc un réel α tel que
| { | a | = cosα | |
| √(a²+b²) | |||
| b | = sinα | ||
| √(a²+b²) |
2.1.2 Propriété
Soient a et b deux nombres réels.
(∀x∈IR)
acosx + bsinx=√(a²+b²)(cosαcosx+sinαsinx)
ou encore
acosx + bsinx = √(a²+b²)cos(x - α).
2.2 Exemples
2.2.1 Exemple 1
Soit x∈IR.
Simplifier A=cosx+sinx
Correction
| a=1 | b=1 | a²+b²=2 |
donc il existe (α∈IR) tel que
| 1 | = | √(2) | = cosα | |
| √(2) | 2 | |||
| 1 | = | √(2) | = sinα | |
| √(2) | 2 |
il suffit de prendre
| α = | π |
| 4 |
ainsi
| A = √(2)cos(x - | π | ) |
| 4 |
2.2.2 Exemple 2
Soit x∈IR.
Simplifier B=cosx - √(3)sinx
Correction
| a=1 | b=-√(3) | a²+b²=4 |
donc il existe (α∈IR) tel que
| { | 1 | = cosα | |
| 2 | |||
| -√(3) | = sinα | ||
| 2 |
il suffit de prendre
| α = | - π |
| 3 |
Ainsi
| B = 2cos(x + | π | ) |
| 3 |
Exercice 1 tp
Soit x∈IR.
Simplifier les expressions suivants
A(x) = -2cosx - 2sinx.
B(x) = -2cosx + 2sinx.
C(x) = √(2)cosx - √(2)sinx.