Signin
Mathématiques du secondaire qualifiant

Nombres complexes (2)

Exercice 1 tp

Dans un plan complexe rapporté à un repère
orthonormé direct (O ; u→ ; v→), on considère trois points A(-1-i) ; B(1+3i) et C(-2-3i)
Montrer que A ; B et C sont alignés.

Correction

Notons que E(z) , F(z') et G(z") sont alignés si

ZG - ZE = z" - z ∈IR
ZF - ZE z' - z
ZC - ZA = -2-3i - (-1-i) = -(1+2i)
ZB - ZA 1+3i - (-1-i) 2(1+2i)
Donc ZC - ZA = -1 ∈IR
ZB - ZA2

Ainsi A ; B et C sont alignés

Exercice 2 tp

Dans un plan complexe rapporté à un repère
orthonormé direct (O ; u→ ; v→), on considère trois points A(1-i) ; B(3+i) et C(2+2i)
Les points A ; B et C sont ils alignés ?

Correction
ZC - ZA = 2+2i - (1-i) = 1+3i
ZB - ZA 3+i - (1-i) 2(1+i)
Donc ZC - ZA = (1+3i)(1-i)
ZB - ZA2(1²-i²)
= 1-i+3i-3i² = 4+2i
44
Donc ZC - ZA = 1 + i 1 ∉ IR
ZB - ZA2

Ainsi A ; B et C ne sont pas alignés

Exercice 3 tp

Dans un plan complexe rapporté à un repère
orthonormé direct (O ; u→ ; v→), on considère trois points A(-4+3i) ; B(-1+5i) et C(-3 + 2i)
1) Déterminer l'affixe du vecteur AB→
2) Calculer la distance AB ; AC et BC
3) Montrer que ABC est un triangle et déduire sa nature

Correction

1) aff(AB→) = (-1+5i) - (-4+3i)
= -1-(-4)+i(5-3)
ainsi aff(AB→) = 3 + 2i

2) AB = |aff(B) - aff(A)| = |(-1+5i) - (-4+3i)|
= |-1+5i + 4-3i| = |3 + 2i|
= √(3² + 2²) = √(13)
Ainsi AB = √(13)
Notons que AB = ||AB→|| = √(13)
AC = |aff(C) - aff(A)| = |(1+2i) - (-4+3i)|
= |-3+2i + 4-3i| = |1 - i|
= √(1² + (-1)²) = √(2)
Ainsi AC = √(2)
BC = |aff(C) - aff(B)| = |(-3+2i) - (-1+5i)|
= |-3+2i + 1-5i| = |-2 - 3i|

= √((-2)² + (-3)²) = √(13)
Ainsi BC = √(13)
3) ABC est un triangle si les points A ; B et C ne sont pas alignés

ZC - ZA = -3+2i - (-4+3i) = 1-i
ZB - ZA -1+5i - (-4+3i) 3+2i
= (1-i)(1-2i)
(3+2i)(3-2i)
= 1-2i-i+2i² = -1-3i
3²+2²13
Donc ZC - ZA = -1 - 3 i ∉ IR
ZB - ZA 1313

Ainsi A ; B et C ne sont pas alignés et de plus ABC est un triangle
Le triangle ABC a seulement deux côtés égaux, [BC] et [BA] donc ABC est un triangle isocèle de sommet B