Exercice 1 tp

Dans un plan complexe rapporté à un repère
orthonormé direct (O ; u^→ ; v^→), on considère deux points A(2i) ; B(2-i)
1) Déterminer l'affixe du milieu du segments [AB]
2) Calculer la distance AB
3) Soit (L) l'ensemble des points M(x+iy) du plan complexe tel que AM² + BM² = 13
Déterminer la nature de (L)

Correction

Notons que I(z_I) est milieu du segment [AB] signifie

2) AB = |z_B - z_A| = |2-i - (2i)| =|2-3i|
= √(2² + (-3)²) = √(13)
Ainsi AB = √(13)
3) Nature de (L)
AM²+BM²=13 ⇔ |x+iy-(2i)|² + |x+iy-(2-i)|² =13
⇔ |x + i(y-2)|² + |(x-2) + i(y+1)|² = 13
⇔ x² + (y-2)² + (x-2)² + (y+1)² = 13
⇔ x² + y²-4y+4 + x²-4x+4 + y²+2y+1 - 13 = 0
⇔ 2x² - 4x + 2y²-2y - 4 = 0
⇔ x² - 2x + y² - y - 2 = 0
On a x²-2x = (x-1)² - 1

Donc AM² + BM² = 13 ⇔

Ainsi (L) est un cercle de centre w(1 + 0,5i) et de rayon √(13)/2

Exercice 2 tp

Dans un plan complexe rapporté à un repère
orthonormé direct (O ; u^→ ; v^→), on considère les points A(-2+4i) ; B(2+5i) ; C(5+3i) et D(1+2i)
1) Déterminer l'affixe du milieu de chacun des segments [AC] et [BD]
2) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD

Correction

1) I(z_I) est le milieu du segment [AC] signifie

J(z_J) est le milieu du segment [BD] signifie

2) Puisque z_I = z_J alors I = J et donc les diagonaux du quadrilatère ABCD ont le même milieu
Et cela signifie que ABCD est un parallélogramme