1.2 Point d’inflexion et concavité

1.2.1 Concavité d’une courbe

Définition Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et (C) sa courbe représentative dans un repère (O;i^→;j^→).
Si la courbe (C) est au-dessus de toutes ses tangentes alors elle est convexe (sa concavité est orientée vers les ordonnées positives).
Si la courbe (C) est au-dessous de toutes ses tangentes alors elle est concave.

Exemples
1) Soit f une fonction définie par f(x)=2x²+1.

f est dérivble sur IR et sa courbe (C) est au-dessus de toutes ses tangentes dans IR donc (C) est convexe.
2) Soit f une fonction définie par f(x)=-x²+4x.
f est dérivable sur IR et sa courbe (C) est au-dessous de toutes ses tangentes dans IR donc (C) est concave.

1.2.2 Point d’inflexion

Définition Soit f une fonction dérivable sur intervalle I contenant a et (C) sa courbe représentative dans un repère (O;i^→;j^→).
Le point A(a;f(a)) est un point d'inflexion de (C) si la concavitée de (C) change au point A.

Exemple
Soit f une fonction définie par f(x)= x³.
Le point O est un point d'inflexion de la courbe de f.

Propriétés Soit f une fonction dérivable double sur un intervalle I et (C) sa courbe représentative dans un repère (O;i^→;j^→).
1) Si (∀x∈I): f"(x)≥0 alors (C) est convexe.
2) Si (∀x∈I): f"(x)≤0 alors (C) est concave .
3) Si (∀x∈I): f"(a)=0 et f" change de signe au point a alors le point A(a;f(a)) est un point d'inflexion de la courbe (C).