1.3 Eléments de symétrie d'une courbe

1.3.1 La parité

Soit f est une fonction et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i^→;j^→).
1) Si f est paire alors sa courbe (C) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
2) Si f est une fonction impaire alors sa courbe (C) est symétrique par rapport à l'origine du repère.

f est paire

f est impaire

1.3.2 la périodicité

Rappel Une fonction f est périodique de période T si
1) (∀x∈D): x+T∈D et x-T∈D
2) (∀x∈D): f(x+T)=f(x)

Propriété
Si f est une fonction périodique de période T, il suffit de tracer la courbe (C) sur un intervalle d'amplitide T et compléter la courbe en utilisant la translation du vecteur u^→=T_i^→.

Exemples
Les fonctions cos et sin sont périodiques de période 2π, il suffit d'étudier ces fonctions sur un intervalle d'amplitude 2π
Exemples: [-π;π] ou [0;2π] ;...

1.3.3 Axe de symétrie

Propriété : Soit f une fonction numérique et (C) sa courbe représentative. La droite (D) d'équation x=a est un axe de symétrie de (C)
si (∀x∈D_f): 2a-x∈D_f et f(2a-x)=f(x).

1.3.4 Centre de symétrie

Propriété f est une fonction numérique de variable x ; D_{f son ensemble de définition et (C) sa courbe représentative dans un repère(O;i^→;j^→).
Le point A(a;b) est un centre de symétrie de (C)
si (∀x∈Df): 2a-x∈Df et f(2a-x)=2b-f(x).}

Exemple Soit f une fonction définie par

Montrer que W(1;0) est un centre de symétrie de (C).

Correction
D={x∈IR/ x-1≠0}=IR\{1}.
Soit x∈D montrons que 2.1-x∈D
2-x=1⇔-x=1-2=-1⇔x=1
et puisque x≠1 alors (2-x)∈D.

donc f(2-x)=-f(x)=2.0-f(x) ainsi le point W(1;0) est un centre de symétrie de la courbe (C).