2- Exemples d'étude des fonctions

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie sur IR par
f(x)=|x²-2| et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i^→;j^→).
1) Vérifier que f est une fonction paire.
2) Etudier la dérivabilitée de f au point √(2).
et déduire la dérivabilité de f au point -√(2).

3) Déterminer la fonction dérivée f'
sur IR⁺\{√(2)} et déterminer sa monotonie.
4) Tracer le tableau de variations de f.
5) Tracer la courbe (C).

Correction

1) La fonction g:x→x²-2 est un polynôme donc |g| est définie sur IR
ou encore f est définie sur IR donc D=IR.
ainsi (∀x∈IR) on a (-x)∈IR
Soit x∈IR
f(-x)=|(-x)²-2|=|x²-2|=f(x).

Ainsi f est une fonction paire (il suffit d'étudier f sur IR⁺).
2) On a f(√(2))=0
(i) La dérivée à doite à √(2)
Soit x∈[√(2) ; √(2) + r[ avec r>0
donc x≥√(2) et |x²-2|=x²-2.

Donc f est dérivable à droite à √(2)
et f'_d(√(2)) = 2√(2).

(ii) La dérivée à gauche à √(2)
Soit x∈]√(2) - r ; √(2)] avec r>0
donc x≤√(2) et |x²-2|=-(x²-2).

ainsi f est dérivable à gauche à √(2) et f'_g(√(2))=-2√(2).

Puisque f'_g(√(2))≠f'_d(√(2)) alors f n'est pas dérivable en √(2) mais f est dérivable à droite et à gauche à √(2).
Puisque f est une fonction paire et n'est pas dérivable au point √(2) alors f n'est pas dérivable au point -√(2) mais elle est dérivable à droite et à gauche à -√(2).
La courbe (C) admet une demi-tangente à droite d'équation y=2√(2)x-4 au point A(√(2);0)
et une une demi-tangente à gauche d'équation y=-2√(2)x+4 au point A(√(2);0).

3) Soit x∈IR⁺\{√(2)}.
(a) Si ]√(2);+∞[ alors f(x)=x²-2
f est donc une restriction d'un polynôme sur I
et donc f est dérivable sur I. Soit x∈I
f'(x)=2x et f'(x)=0⇔x=0 ce n'est pas possible car 0≠I.
On a x>√(2) alors f'(x)>0
ainsi f est strictement croissante
sur ]√(2);+∞[ et donc f est strictement décroissante
sur ]-∞;-√(2)[ car f est paire.

(b) Si x∈J=[0;√(2)[∪ alors f(x)=-x²+2
f est donc une restriction d'un polynôme sur J
et donc f est dérivable sur J. Soit x∈J
f'(x)=-2x et f'(x)=0⇔x=0
0≤x<√(2) alors f'(x)<0
ainsi f est strictement décroissante
sur ]0;√(2)[ et donc f est strictement croissante
sur ]-√(2);0[ car f est paire.

Tableau de variations de f
On calcule les limites en ±∞

Notons que f est paire donc (C) admet deux demi-tangentes au point B(-√(2);0) de plus elle admet une tangente (D):y=2.