Etude des fonctions numériques (6)
Exercice 1 tp
On considère une fonction f définie par
| f(x) = x - | x |
| x²-1 |
et (C) sa courbe dans un repère orthonormé (O;i→;j→).
1) Montrer que f est impaire et déterminer les limites de f en +∞ et à droite à 1.
2) Déterminer les asymptotes de (C).
3) Etudier la monotonie de f et tracer son tableau de variations sur D.
4) Tracer la courbe (C).
5) Résoudre graphiquement
l'inéquation f(x)≥0.
Correction
1) D={x∈IR/x²-1≠0}
=]-∞;-1[∪]-1;1[∪]1;+∞[
le domaine D est centrer en 0 donc
(∀x∈D): (-x)∈D. Soit x∈D
| f(-x) = -x - | -x | = -(x - | x | ) = -f(x) |
| x²-1 | x²-1 |
Donc f est impaire il suffit donc d'étudier f sur [0;1[∪]1;+∞[.
| x | 0 | 1 | +∞ | ||
| x²-1 | - | || | + |
lim 1+ | x | = | 1 | = +∞ |
| x²-1 | 0+ |
| donc | lim 1+ |
f(x) = 1-∞= - ∞ |
lim +∞ | x | = | lim +∞ | x | = | lim +∞ | 1 | = 0 |
| x²-1 | x² | x |
| donc | lim +∞ |
f(x) = +∞ - 0= + ∞ |
| 2) | lim 1+ |
f(x) = - ∞ |
donc la droite d'équation x=1 est une asymptote de (C).
Puisque f est impaire alors la droite d'équation x=-1 est une asymptote de (C).
lim +∞ | f(x)-x = | lim +∞ | x | = 0 |
| x²-1 |
donc la droite (D) d'équation y=x est une asymptote de (C) au voisinage de +∞.
Puisque f est impaire alors (D) est aussi une asymptote de (C) au voisinage de -∞.
3) f est une fonction rationnelle donc dérivable sur D.
Soit x∈D
| f '(x)= 1 - | (x²-1)-2x² | = 1 + | x²+1 |
| (x²-1)² | (x²-1)² |
x²+1> 0 et (x²-1)²>0 donc (∀x∈D) on a f '(x)>0 ainsi f est strictement croissante sur [0;1[ et ]1;+∞[.
f est impaire donc f est également strictement croissante sur
]-∞;-1[ et ]-1;0].
| x | -∞ | -1 | 1 | +∞ | |||||||
| f' | + | + | + | ||||||||
| f | -∞ |
↗ |
+∞ | -∞ |
↗ |
+∞ | -∞ |
↗ |
+∞ | ||
4) La courbe (C)
5) (C) coupe l'axe des abscisses en trois points d'abscisses respectives a
avec -2< a < -1 ; b=0
et c avec 1 < c < 2.
L'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) ≥ 0 est l'ensemble des abscisses des points de la courbe (C) situés au-dessus de l'axe des abscisses
donc S=[a;-1[∪[0;1[∪[c;+∞[.