Etude des fonctions numériques (8)
Exercice 1
Soit f une fonction définie par
f(x)=√(x²+2x)
et (C) sa courbe dans un repère orthonormé (O;i→;j→).
1) Montrer que la droite (Δ): x=-1 est un axe de symétrie de (C) et déduire le domaine réduit de f.
2) Calculer la limite de f en +∞.
et montrer que la droite (Δ1): y=x+1 est une asymptote oblique à (C) au voisinage de +∞.
3) (q1) Etudier la dérivabilité de f en 0.
(q2) Montrer que ∀x∈D\{-2;0}
| f '(x) = | x+1 |
| √(x²+2x) |
et déduire les variations de f.
(q3) Tracer le tableau de variations de f sur D.
4) Soit g la restriction de f sur I=[0 ; +∞[.
Montrer que g admet une fonction réciproque g-1 définie dans J=f(I) qui doit être déterminé et déterminer g-1.
5) Tracer la courbe (C).
Correction
1) D={x∈IR / x²+2x≥0}
=]-∞;-2]∪[0;+∞[.
Soit x∈D donc x∈]-∞;-2] ou x∈[0;+∞[
Si x∈]-∞;-2] alors x≤-2 ou encore -x≥2
ou encore -2-x≥0
donc 2.(-1)-x∈[0;+∞[ ainsi 2.(-1)-x∈D.
Si x∈[0;+∞[ alors x≥0 ou encore -x≤0 ou encore -2-x≤-2
donc 2.(-1)-x∈]-∞;-2] ainsi 2.(-1)-x∈D
et par conséquent (∀x∈D): 2.(-1)-x∈D.
Soit x∈D: f(-2-x)=√((-2-x)²+2(-2-x))
=√(4+4x+x²-4-2x)=√(x²+2x)
Donc f(-2-x)=f(x) et cela signifie que (Δ):x=-1 est un axe de symétrie de la courbe (C)
il suffit donc d'étudier f sur le domaine réduit
De=[0;+∞[.
2) Limite en +∞
lim +∞ | x²+2x= | lim +∞ | x²= +∞ |
| ⇒ | lim +∞ | √(x²+2x)= +∞ |
| Ainsi | lim +∞ | f(x)= +∞ |
Montrons que (Δ1): y=x+1 est une asymptote oblique à (C).
La première condition est vérifiée.
lim +∞ | f(x)= +∞ |
on calcule donc
lim +∞ |
f(x)-(x+1) |
lim +∞ |
f(x)-(x+1) |
=lim +∞ |
√(x²+2x)² - (x+1)² |
| √(x²+2x) + (x+1) |
| = | lim +∞ | -1 | = | -1 |
| √(x²+2x) + (x+1) | +∞ |
| donc | lim +∞ | f(x)-(x+1)= 0 |
Ainsi (Δ1):y=x+1 est une asymptote oblique à (C) au voisinage de +∞.
3) (q1) Dérivation à 0 (à droite)
lim 0+ |
f(x)-f(0) | = | lim 0+ |
√(x²+2x) |
| x-0 | x |
| = | lim 0+ |
|x|√(1+2/x) |
| x | ||
| = | lim 0+ |
x√(1+2/x) |
| x |
| = | lim 0+ |
√(1+ | 2 | ) |
| x |
| On a | lim 0+ | 2 | = +∞ |
| x |
| donc | lim 0+ |
f(x)-f(0) | = +∞ |
| x-0 | x |
ainsi f n'est pas dérivable en 0 et dans ce cas (C) admet une demi-tangente verticale en O.
(q2) Soit x∈D\{-2;0} donc x²+2x > 0 et la fonction x→x²+2x est dérivable sur IR en particulier sur D\{-2;0}.
| f '(x) = | (x²+2x)' | = | 2x+2 |
| 2√(x²+2x) | 2√(x²+2x) |
| ainsi f '(x) = | x+1 |
| √(x²+2x) |
f'(x) est de signe de x+1
f'(x)=0 ⇔ x+1=0 ⇔ x=-1 (-1∉D).
| x | -∞ | -2 | -1 | 0 | +∞ | ||||
| x+1 | - | + | |||||||
Ainsi f est strictement décroissante sur
]-∞;-2] et strictement croissante sur [0;+∞[.
Remarque sur ]-2;0[ la fonction f n'est pas définie.
(q3) Tableau de variations de f
| x | -∞ | -2 | 0 | +∞ | |||||
| f '(x) | - | + | |||||||
| f | +∞ | ↘ |
0 |
0 |
↗ |
+∞ | |||
4) f est continue et strictement croissante sur I=[0;+∞[ donc g est continue et strictement croissante sur I=[0;+∞[.
Ainsi g admet une fonction réciproque g-1 définie de J=f(I) vers I.
| J = [f(0) ; | lim +∞ | f(x)[ | = [0 ; +∞[ |
Soit x∈J
g-1(x)=y ⇔ g(y)=x (y∈I)
⇔ √(y²+2y)=x ⇔ y²+2y=x² (x≥0)
⇔ (y²+2y+1) = x²+1 ⇔ (y+1)² = x²+1
⇔ | y + 1 | = √(x²+1) ⇔ y+1 = √(x²+1) ou y+1 = -√(x²+1
⇔ y = -1 +√(x²+1) (car y≥0)
donc (∀x∈J=[0 ; +∞[): g-1(x) = -1 + √(x²+1).
5) Puisque (D): x=-1 est un axe de symétrie de (C) alors on trace la courbe sur [0;+∞[ et on la complete par symétrie axiale sur ]-∞;-2].
