3.2 Calcul de volumes

3.2.1 Volume d'un solide

Soit S(t) l'aire d'intersection d'un plan avec un solide.
Le volume du solide délimité par les deux plans
(P):x=a et (Q):x=b est défini par

3.2.2 Volume d'un solide engendré par une rotation

Soit f une fonction continue sur I=[a;b].
Une rotation complète de la courbe (C) au tour de l'axe des abscisses engendre un solide.

L'intersection d'un plan d'équation x=t avec ce solide est un cercle de rayon f(t) et de surface π(f(t))².

Propriété
Le volume d'un solide engendré par la rotation complète de la courbe (C) d'une fonction f continue sur [a;b] au tour de l'axe des abscisses et délimité par les deux plan
(P):x=a et (Q):x=b est défini par

V =	b ∫ a	π (f(x))²dx .UV

Exemple
Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = √(x)e^x²
et (C) sa courbe dans un repère orthonormé (O;i^→;j^→).
Calculer le volume V du solide engendré par une rotation de la courbe (C) au tour de l'axe des abscisses et délimité par les plans
(P):x=0 et (Q):x=1.

Correction
f est continue sur l'intervalle I=[0;1] car f est le produit de deux fonctions continues sur I (√ et exp) donc

La fonction g: x→2x² est dérivable sur I
et g'(x)=4x

ainsi