Calcul intégral (2)
Exercice 1 tp
Calculer l'integrale suivante
| I = | 2 ∫ 1 |
4x² - 1 | dx |
| 2x+1 |
Correction
La fonction f définie par
| f(x) = | 4x² - 1 |
| 2x+1 |
est continue sur l'intervalle [1 ; 2] donc elle admet des fonctions primitives
∀x∈[1 ; 2] on a 2x+1≠0
| I = | 2 ∫ 1 | (2x-1)(2x+1) | dx |
| 2x+1 |
Et donc f(x) = 2x-1
| I = | 2 ∫ 1 | 2x-1 | dx |
| = | [x² -x] | 2 1 |
Ainsi I = 2
Exercice 2 tp
Calculer l'integrale suivante
| I = | 1 ∫ 0 | 2x - 1 | dx |
| x-2 |
Correction
La fonction f définie par
| f(x) = | 2x - 1 |
| x-2 |
est continue sur l'intervalle [0 ; 1] donc elle admet des fonctions primitives
∀x∈[0 ; 1] on a x-2≠0
Nous pouvons utiliser la division Euclidienne de 2x-1 par x-2
2x-1 = 2x-4+4-1 = 2(x-2)+3 donc
| f(x) = 2 + | 3 |
| x-2 |
Ainsi
| I = | 1 ∫ 0 | (2 + | 3 | ) dx |
| x - 2 |
| I = | 1 ∫ 0 | 2 dx + | 1 ∫ 0 | 3 | dx |
| x - 2 |
| = | [2x] | 1 0 | + 3 | [ln|x - 2|] | 1 0 |
| = | 2 - 0 | + 3( | ln(1) - ln(2) | ) |
Ainsi I = 2 - 3ln(2)
Exercice 3 tp
Calculer l'integrale suivante
| I = | 5 ∫ 2 | 3x³ - 5x² + 3 | dx |
| x-1 |
Correction
La fonction f définie par
| f(x) = | 3x³ - 5x² + 3 |
| x-1 |
est continue sur l'intervalle [2 ; 5] donc elle admet des fonctions primitives
∀x∈[2 ; 5] on a x-1≠0
Nous pouvons utiliser la division Euclidienne
de 3x³ - 5x² + 3 par x-1
3x³ - 5x² + 3 = (x-1)(3x² - 2x - 2) + 1 donc
| f(x) = 3x² - 2x - 2 + | 1 |
| x-1 |
Ainsi
| I = | 5 ∫ 2 | ( 3x² - 2x - 2 + | 1 | ) dx |
| x - 1 |
| I = | 5 ∫ 2 | ( 3x² - 2x - 2) dx + | 5 ∫ 2 | 1 | dx |
| x - 1 |
On a
| 3 ∫ 2 |
(3x²-2x-2)dx = [x³-x²-2x] | 5 2 | = 90 |
| 5 ∫ 2 |
1 | dx = [ln|x - 1|] | 5 2 | = ln4 |
| x-1 |
Donc I = 90 + ln4.